Аполлоны теорем

Чөлөөт нэвтэрхий толь, Википедиагаас
Харайх: Удирдах, Хайлт
Apollonius' theorem.png

Аполлоны теорем нь элементар геометрт гурвалжин дахь хэд хэдэн элементүүдийг холбосон теорем юм.

Энэ теорем нь өгөгдсөн ABC гурвалжны хувьд хэрэв D нь BC талыг n:m (эсвэл mBD = nDC) гэсэн харьцаатайгаар хуваасан дурын цэг бол

mAB^2 + nAC^2 = mBD^2 + nDC^2 + (m+n)AD^2.

биелэнэ.

Теоремын онцлог тохиолдлууд[засварлах]

  • m = n (=1) үед AD нь BC тал дээр буусан медиан болох бөгөөд теорем дараах хэлбэрт шилжинэ
AB^2 + AC^2 = BD^2 + DC^2 + 2AD^2.\,\!AB^2 + AC^2 = BD^2 + DC^2 + 2AD^2.\,\!
  • Үүн дээр нэмээд AB = AC гэвэл адил талт гурвалжин болох бөгөөд улмаар теорем нь Пифагорын теорем болон хувирна
 AD^2 + BD^2 = AB^2 (= AC^2).\,\!

Энгийнээр аливаа гурвалжин ABC\,\!-ын хувьд хэрэв AD\,\! нь медиан бол AB^2 + AC^2\,\!= 2(AD^2+BD^2)\,\! биелэнэ. Энэ теоремыг батлахын тулд BC\,\! тал дээр A\,\! оройгоос AX\,\! перпендикулярыг буулгая. Тэгвэл ABX\,\! болон ACX\,\! гурвалжнуудын хувьд Пифагорын теоремыг хэрэглэвэл

AB^2 = AX^2 + BX^2\,\!

=AX^2 + (BD+DX)^2\,\!

=AX^2 + BD^2 + DX^2 + 2.BD.DX\,\! ...........(i)

болон

AC^2 = AX^2 + CX^2\,\!

=AX^2 + (CD-DX)^2\,\!

=AX^2 + CD^2 + DX^2 - 2.CD.DX\,\! ...........(ii)

болно.

(i) болон (ii) тэгшитгэлүүдийг нэмбэл

AB^2 + AC^2\,\!

=AX^2 + BD^2 + DX^2 + 2.BD.DX + AX^2 + CD^2 + DX^2 - 2.CD.DX\,\!

=2(AX^2 + DX^2 + BD^2)\,\! { BD=DC\,\! учраас, 2.BD.DX=2.DC.DX\,\! болно}

=2(AX^2 + DX^2) + 2BD^2\,\!

=2(AD^2 + BD^2)\,\! {AXD\,\! нь тэгш өнцөг учраас}


Теорем батлагдав.

Мөн үзэх[засварлах]