Аполлоны теорем

Чөлөөт нэвтэрхий толь, Википедиагаас

Харайх: Удирдах, Хайлт
Apollonius' theorem.png

Аполлоны теорем нь элементар геометрт гурвалжин дахь хэд хэдэн элементүүдийг холбосон теорем юм.

Энэ теорем нь өгөгдсөн ABC гурвалжны хувьд хэрэв D нь BC талыг n:m (эсвэл mBD = nDC) гэсэн харьцаатайгаар хуваасан дурын цэг бол

mAB2 + nAC2 = mBD2 + nDC2 + (m + n)AD2.

биелэнэ.

[Засварлах] Теоремын онцлог тохиолдлууд

  • m = n( = 1) үед AD нь BC тал дээр буусан медиан болох бөгөөд теорем дараах хэлбэрт шилжинэ
AB^2 + AC^2 = BD^2 + DC^2 + 2AD^2.\,\!AB^2 + AC^2 = BD^2 + DC^2 + 2AD^2.\,\!
  • Үүн дээр нэмээд AB = AC гэвэл адил талт гурвалжин болох бөгөөд улмаар теорем нь Пифагорын теорем болон хувирна
AD^2 + BD^2 = AB^2 (= AC^2).\,\!

Энгийнээр аливаа гурвалжин ABC\,\!-ын хувьд хэрэв AD\,\! нь медиан бол AB^2 + AC^2\,\!= 2(AD^2+BD^2)\,\! биелэнэ. Энэ теоремыг батлахын тулд BC\,\! тал дээр A\,\! оройгоос AX\,\! перпендикулярыг буулгая. Тэгвэл ABX\,\! болон ACX\,\! гурвалжнуудын хувьд Пифагорын теоремыг хэрэглэвэл

AB^2 = AX^2 + BX^2\,\!

=AX^2 + (BD+DX)^2\,\!

=AX^2 + BD^2 + DX^2 + 2.BD.DX\,\! ...........(i)

болон

AC^2 = AX^2 + CX^2\,\!

=AX^2 + (CD-DX)^2\,\!

=AX^2 + CD^2 + DX^2 - 2.CD.DX\,\! ...........(ii)

болно.

(i) болон (ii) тэгшитгэлүүдийг нэмбэл

AB^2 + AC^2\,\!

=AX^2 + BD^2 + DX^2 + 2.BD.DX + AX^2 + CD^2 + DX^2 - 2.CD.DX\,\!

=2(AX^2 + DX^2 + BD^2)\,\! { BD=DC\,\! учраас, 2.BD.DX=2.DC.DX\,\! болно}

=2(AX^2 + DX^2) + 2BD^2\,\!

=2(AD^2 + BD^2)\,\! {AXD\,\! нь тэгш өнцөг учраас}


Теорем батлагдав.

[Засварлах] Мөн үзэх

"http://mn.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BB%D0%BE%D0%BD%D1%8B_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC"-с авсан
Хувийн хэрэгсэлүүд