Аполлоны теорем

Аполлоны теорем нь элементар геометрт гурвалжин дахь хэд хэдэн элементүүдийг холбосон теорем юм.

Энэ теорем нь өгөгдсөн ABC гурвалжны хувьд хэрэв D нь BC талыг n:m (эсвэл $mBD = nDC$) гэсэн харьцаатайгаар хуваасан дурын цэг бол

$mAB^2 + nAC^2 = mBD^2 + nDC^2 + (m+n)AD^2.$

биелэнэ.

Теоремын онцлог тохиолдлууд

• $m = n (=1)$ үед AD нь BC тал дээр буусан медиан болох бөгөөд теорем дараах хэлбэрт шилжинэ

$AB^2 + AC^2 = BD^2 + DC^2 + 2AD^2.\,\!$$AB^2 + AC^2 = BD^2 + DC^2 + 2AD^2.\,\!$

• Үүн дээр нэмээд AB = AC гэвэл адил талт гурвалжин болох бөгөөд улмаар теорем нь Пифагорын теорем болон хувирна

$AD^2 + BD^2 = AB^2 (= AC^2).\,\!$

Энгийнээр аливаа гурвалжин $ABC\,\!$-ын хувьд хэрэв $AD\,\!$ нь медиан бол $AB^2 + AC^2\,\!$= $2(AD^2+BD^2)\,\!$ биелэнэ. Энэ теоремыг батлахын тулд $BC\,\!$ тал дээр $A\,\!$ оройгоос $AX\,\!$ перпендикулярыг буулгая. Тэгвэл $ABX\,\!$ болон $ACX\,\!$ гурвалжнуудын хувьд Пифагорын теоремыг хэрэглэвэл

$AB^2 = AX^2 + BX^2\,\!$

=$AX^2 + (BD+DX)^2\,\!$

=$AX^2 + BD^2 + DX^2 + 2.BD.DX\,\!$ ...........(i)

болон

$AC^2 = AX^2 + CX^2\,\!$

=$AX^2 + (CD-DX)^2\,\!$

=$AX^2 + CD^2 + DX^2 - 2.CD.DX\,\!$ ...........(ii)

болно.

(i) болон (ii) тэгшитгэлүүдийг нэмбэл

$AB^2 + AC^2\,\!$

=$AX^2 + BD^2 + DX^2 + 2.BD.DX + AX^2 + CD^2 + DX^2 - 2.CD.DX\,\!$

=$2(AX^2 + DX^2 + BD^2)\,\!$ { $BD=DC\,\!$ учраас, $2.BD.DX=2.DC.DX\,\!$ болно}

=$2(AX^2 + DX^2) + 2BD^2\,\!$

=$2(AD^2 + BD^2)\,\!$ {$AXD\,\!$ нь тэгш өнцөг учраас}

Теорем батлагдав.

Мөн үзэх

• Стюартын теорем
• Параллелограмын хууль
• Пифагорын теорем
• Менелайн теорем
• Чевийн теорем