Онож-заслах арга

Математикт, ялангуяа тоон анализ, тооцон бодох шингэний динамикт Онож–заслах арга нь хоёр алхамд үйлдэл гүйцэтгэх алгоритм юм. Эхлээд, онох (буудах гэдэгтэй ойролцоо боловч ялгаатай) алхам нь хүсэж буй тоо хэмжээний бараг (нилээд хол ойролцоо) утгыг тооцоолно. Дараа нь, Засах (өмнөх утганд зөвтгөл хийх гэсэн утгатай) алхам нь өмнөх ойролцоолсон бараг утгыг хэрэглэн өөр утгыг тодруулан олох болно.

Энгийн дифференциал тэгшитгэл дахь Онож-заслах арга

Энгийн (бүрэн) дифференциал тэгшитгэлийн (БДТ) тоон шийдлүүдийг авч үзвэл, онож-заслах арга нь ерөнхийдөө онох алхамд ил арга, засах алхамд далд арга нь хэрэглэгддэг.

Жишээ: Эйлерийн аргын трапецлах дүрэм

Энгийн онож-заслах арга (Хеүнгийн арга гэж нэрлэдэг) нь Эйлерийн арга (ил арга) болон трапецлах дүрэм (далд арга) дээр бий болдог.

Дифференциал тэгшитгэлийг авч үзвэл

$y'=f(t,y),\quad y(t_{0})=y_{0},$

ба алхамын хэмжээг $h$ гэж тэмдэглэе.

Эхлээд, онох алхам: идэвхит утга $y_{i}$ -аас эхлэж, Эйлэрийн аргаар анхны тааж буй утга ${\tilde {y}}_{i+1}$ гэж тодорхойлно,

${\tilde {y}}_{i+1}=y_{i}+hf(t_{i},y_{i}).$

Дараа нь, заслах алхам: трапецлах дүрэм ашиглан анхны таасан утгыг сайжруулна,

$y_{i+1}=y_{i}+{\tfrac {1}{2}}h{\bigl (}f(t_{i},y_{i})+f(t_{i+1},{\tilde {y}}_{i+1}){\bigr )}.$

Энэ утга нь алхамт тооцооллын зарчмаар дараачын утгыг тооцоолоход ашиглагдана.

PEC горим буюу PECE горим

Онож-заслах аргад заслах алхамыг хэрхэн хэрэглэхээс хамаарсан өөр өөр вариентууд байдаг. Үүний нэг нь Онож-Үнэлэх-Засаж-Үнэлэх (PECE - Predict–Evaluate–Correct–Evaluate гэсэн үгний эхний үсгүүд) горим ба дээрх жишээнд энэ вариантыг хэрэглэсэн ба нэгтгэн бичвэл:

${\begin{aligned}{\tilde {y}}_{i+1}&=y_{i}+hf(t_{i},y_{i}),\\y_{i+1}&=y_{i}+{\tfrac {1}{2}}h{\bigl (}f(t_{i},y_{i})+f(t_{i+1},{\tilde {y}}_{i+1}){\bigr )}.\end{aligned}}$

Мөн функц f-г зөвхөн нэг шатанд үнэлэх Онох-үнэлэх-заслах(PEC - Predict–Evaluate–Correct) гормыг хэрэглэх нь боломжтой ба дараах байдлаар алхамууд илэрхийлэгдэнэ:

${\begin{aligned}{\tilde {y}}_{i+1}&=y_{i}+hf(t_{i},{\tilde {y}}_{i}),\\y_{i+1}&=y_{i}+{\tfrac {1}{2}}h{\bigl (}f(t_{i},{\tilde {y}}_{i})+f(t_{i+1},{\tilde {y}}_{i+1}){\bigr )}.\end{aligned}}$

Мөн дээрээс нь нэмбэл, засах алхам нь хэд дахин давтан тооцоолол хийгдвэл үр дүн бүхэлдээ нарийвчлал сайтай байна. Хэрэв засах арга нь хоёр удаа хийгдэж байвал PECECE горим болох ба энэ нь:

${\begin{aligned}{\tilde {y}}_{i+1}&=y_{i}+hf(t_{i},y_{i}),\\{\hat {y}}_{i+1}&=y_{i}+{\tfrac {1}{2}}h{\bigl (}f(t_{i},y_{i})+f(t_{i+1},{\tilde {y}}_{i+1}){\bigr )}.\\y_{i+1}&=y_{i}+{\tfrac {1}{2}}h{\bigl (}f(t_{i},y_{i})+f(t_{i+1},{\hat {y}}_{i+1}){\bigr )}.\end{aligned}}$

PECEC горим нь нэг функцын багасгах үнэлгээтэй байдаг. Ерөнхийдөө, зөслөх алхам нь k удаа хийгдвэл, тухайн арга нь P(EC)^k эсвэл P(EC)^kE гэсэн горимтой байна. Хэрэв онох арга нь утгыг нийлэмжтэй болтол нь итерацид орвол, энэ нь PE(CE)^∞ гэж нэрлэгдэнэ.

Мөн үзэх

• Ухрах ялгаварын аргачлал
• Давших ялгаварын аргачлал
• Бееманы алгоритм
• Хеүнсийн арга
• Мехротрагийн онож-заслах арга
• Тооцооллын сэргэлт

Лавлах

• Butcher, John C. (2003), Numerical Methods for Ordinary Differential Equations, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-96758-3.
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Section 17.6. Multistep, Multivalue, and Predictor-Corrector Methods". Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8. Archived from the original on 2011-08-11. Retrieved 2015-01-12.

Гадаад линк

• Эрик Вейнштейн, Methods.html Predictor-Corrector Methods
• Predictor–corrector methods Дифференциал тэгшитгэл дахь онож-заслах арга