Бүлгийн үйлдэл

Математикт, бүлгийн үйлдэл (Англи: group action) гэдэг нь ерөнхийд нь хэлбэл, $G$ бүлгийн элемент ба $S$ олонлогийн нэг, нэг элементийг авч, $S$-ийн өөр нэг элементийг гаргаж авдаг үйлдэл юм. Албан ёсоор бол, энэ нь $G$-ээс $X$-ийн автоморфизмын бүлэг рүү (өөрөөр хэлбэл, $X$-ийн бүх биекцүүдийн олонлог, үйлдэл нь функцийн нийлбэрлэл) чиглэсэн бүлгийн гомоморфизм юм. Ийм үед “$G$ нь $S$ дээр үйлчилж байна” гэж хэлдэг.

Олон хувиргалтууд функцийн нийлбэрлэлийн дор бүлэг үүсгэдэг. Жишээ нь, хавтгай дээр нэг цэгийг тойрсон эргэлтүүд. Ийм үед эдгээр хувиргалтуудаас бүрдсэн бүлгийг хийсвэр бүлэг гэж авч үзээд, тэр бүлэг тухайн хувиргалтуудыг хэрэгжүүлж байна гэж үзэх нь ихэвчлэн ашигтай байдаг. Бүлгийг хувиргалтуудаас ялгаж авч үзэх шалтгаан нь: ерөнхийдөө нэг бүтэц дээр үйлчилж буй хувиргалтуудын бүлэг нь түүнтэй холбоотой бусад бүтэц дээр ч мөн адил үйлчилдэг. Жишээ нь, дээрх эргэлтийн бүлэг нь хавтгай дээрх гурвалжнууд дээр ч үйлчилж, нэг гурвалжныг нөгөө гурвалжин болгон хувиргана.

Хэрэв нэг бүлэг ямар нэг бүтэц дээр үйлчилж байвал, тэр бүтэц дээр суурилсан объектууд дээр ч мөн үйлчилдэг. Жишээлбэл, Евклидийн изометрийн бүлэг нь Евклидийн огторгуй дээр үйлчлэхээс гадна тэнд зурсан дүрсүүд дээр ч үйлчилнэ; тухайлбал, бүх гурвалжнуудын олонлог дээр үйлчилнэ. Үүнтэй адил, олон талт биетийн симметрийн бүлэг нь түүний орой, ирмэг, болон талууд дээр тус тус үйлчилдэг.