Вандермондын матриц

Mөр тус бүрийн дагуу геометр прогрессын томьёогоор тодорхойлогддог m x n хэмжээст матрицыг Вандермондын матриц (Англи: Vandermonde matrix) гэж нэрлэж шугаман алгебрт авч үздэг.

$V={\begin{bmatrix}1&\alpha _{1}&\alpha _{1}^{2}&\dots &\alpha _{1}^{n-1}\\1&\alpha _{2}&\alpha _{2}^{2}&\dots &\alpha _{2}^{n-1}\\1&\alpha _{3}&\alpha _{3}^{2}&\dots &\alpha _{3}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&\alpha _{m}&\alpha _{m}^{2}&\dots &\alpha _{m}^{n-1}\end{bmatrix}},$

эсвэл бүх i –р мөр j –р баганы хувьд дараах байдлаар бичигднэ.

$V_{i,j}=\alpha _{i}^{j-1}\,$

Вандермондын матрицыг m=n үед квадрат буюу n эрэмбийн Вандермондын матриц гэнэ. Энэ матрицын хувьд тодорхойлогч нь:

$\det(V)=\prod _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{j}-\alpha _{i}).$

Бүх тоонууд нь хоорондоо ялгаатай бөгөөд аль нь ч тэгтэй тэнцүү биш нөхцөлд үүнийг Вандермондын тодорхойлогч буюу Вандермондын олон гишүүнт гэж нэрлэдэг. Тэгш сондгой орлуулга буюу мөрүүдийг хооронд нь тэгш удаа солиход тодорхойлогчийн тэмдэг өөрчлөгдөхгүй, сондгой удаа солиход тэмдэг өөрчлөгднө. Хэрэв хоёр болон түүнээс олон тоонууд нь тэнцүү бол олон гишүүнтийн интерполяци үүсэж тодорхойлогдохгүй болно. Энэ тохиолдолд салаалсан Вандермондын матриц гэж нэрлэх ба хэрэв αi = αi + 1 = ... = αi+k and αi ≠ αi – 1 нөхцөл биелсэн үед (i + k) –р мөрийн элементүүд дараах байдлаар илэрхийлэгдэнэ.

Иймээс салаалсан мөрүүд нь анхдагч Вандермондын матрицын мөрөөс үүссэн үүсмэл юм.

Шинж чанар

Вандермондын олон гишүүнт буюу тэгш хэмт олон гишүүнтүүдийн үржвэр нь бүх тэмдэг нь солигдох олон гишүүнтүүдийг үүсгэдэг. m ≤ n үед V матрицын ранг нь хамгийн их (m) утгаа авах гарцаагүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь бүх αi элементүүд нь хоорондоо ялгаатай байх юм.

Хэрэглээ

Вандермондын матрицын багана бүр Лагранжийн үндсэн олон гишүүнтийн коэффициент болж багасгаж эрэмбэлж хялбараар хувиргаж чадна. Үүний үр дүнд Лагранжийн олон гишүүнтийн интерполяцийн асуудлыг шийдвэрлэдэг. Вандермондын тодорхойлогч нь Frobenius томьёонд чухал үүрэгтэй бөгөөд тэгш хэмт бүлгийн дүрслэлийн зэрэгцээ ангийн шинж чанарыг гаргахад хэрэглэдэг. Мөн түүнчлэн BCH кодын шинж чанарыг тодорхойлоход, сonfluent Вандермондын матрицууд нь Hermite interpolation-д, Reed–Solomon error correction кодын зарим бүрдүүлэлтэд хэрэглэгддэг, Discrete Fourier transform (DFT matrix) нь Вандермондын матрицын хэлбэр юм.