Коммутатив алгебр

Коммутатив алгебр (Англи: commutative algebra, анх “идеалын онол” гэж нэрлэгдэж байсан) нь коммутатив цагаригууд, тэдгээрийн идеалууд болон ийм цагариг дээрх модулиудыг судалдаг алгебрын салбар юм. Алгебрлиг геометр болон алгебрлиг тооны онол хоёулаа коммутатив алгебрт тулгуурладаг. Коммутатив цагаригийн түгээмэл жишээнд олон гишүүнтийн цагаригууд, алгебрын бүхэл тоонуудын цагариг (ердийн бүхэл тоо $\mathbb {Z}$-ийг оролцуулан), мөн p-адик бүхэл тоонууд орно.

Коммутатив алгебр нь алгебрлиг геометрийн үндсэн техникийн хэрэгсэл бөгөөд коммутатив алгебрын олон үр дүн, ойлголтууд нь геометрийн ойлголтуудтай нягт холбоотой байдаг.

Заавал коммутатив байх албагүй цагаригуудыг судалдаг салбарыг коммутатив бус алгебр гэдэг. Үүнд цагаригийн онол, дүрслэлийн онол, Банахын алгебрын онол зэрэг багтана.

Ерөнхий тойм

Коммутатив алгебр нь үндсэндээ алгебрлиг тооны онол болон алгебрлиг геометрт гарч ирдэг цагаригуудыг судлах ухаан юм.

Коммутатив алгебрын хэд хэдэн ойлголт алгебрлиг тооны онолтой холбоотойгоор хөгжсөн байдаг. Тухайлбал, Дэдэкиндийн цагариг (алгебрлиг тооны онолд гарч ирдэг коммутатив цагаригийн гол ангилал), интеграл тэлэлтүүд (integral extensions), үнэлгээний цагаригууд (valuation rings) зэрэг орно.