Хилбертийн орон зай

Математикт, Хилбертийн орон зай (Давид Хилбертийн нэрээр нэрлэгдсэн) нь шугаман алгебр ба тооны анализын аргуудыг (хэмжээст Евклидийн вектор орон зайгаас) хязгааргүй хэмжээст орон зай руу ерөнхийлөх боломжийг олгодог. Хилбертийн орон зай нь байгалийн жамаар болон түгээмэл байдлаар математик, физикт, ялангуяа функцийн орон зайд гарч ирдэг. Албан ёсоор хэлэхэд, Хилбертийн орон зай нь дотоод үржвэртэй вектор орон зай бөгөөд энэ нь зайны функц үүсгэж, орон зайг бүрэн метр орон зай болгодог. Хилбертийн орон зай нь Банакийн орон зайн тусгай тохиолдол юм.

Хамгийн анхны Хилбертийн орон зайг 20-р зууны эхний арван жилд Давид Хилберт, Эрхард Шмидт, Фригис Рис нар судалж байв. Эдгээр нь хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэл, квант механик, Фурьегийн анализ (үүнд дохио боловсруулалт ба дулаан дамжуулалт багтана), мөн эргодик онол (термодинамикийн математик үндсийг бүрдүүлэгч) зэрэг онолуудад зайлшгүй хэрэгцээтэй хэрэгслүүд юм. Жон фон Нойманн Хилбертийн орон зай гэсэн нэр томъёог эдгээр олон төрлийн хэрэглээг агуулсан хийсвэр ойлголтыг нэрлэхэд ашигласан. Хилбертийн орон зайн аргуудын амжилт нь функциональ анализын үр дүнтэй шинэ үеийг эхлүүлсэн. Сонгодог Евклидийн вектор орон зайгаас гадна Хилбертийн орон зайн жишээнд квадрат интегралчлагдах функцийн орон зай, дарааллуудын орон зай, ерөнхийлсөн функцүүдээс бүрдсэн Соболевийн орон зай, мөн голомттой функцүүдийн Хардигийн орон зай орно.

Геометрийн зөн совин нь Хилбертийн орон зайн онолын олон талд чухал үүрэг гүйцэтгэдэг.