Эйлерийн характеристик

Математикт, ялангуяа алгебрлиг топологи болон олон талтын комбинаторикт Эйлерийн характеристик (Англи: Euler characteristic, мөн Эйлерийн тоо, Эйлер–Пуанкарегийн характеристик) нь топологийн инвариант бөгөөд огторгуйг хэрхэн нугалж, мушгиснаас үл хамааран түүний хэлбэр, бүтцийг тодорхойлох тоо юм. Ихэвчлэн $\chi$ гэж тэмдэглэдэг.

Эйлерийн характеристикийг анх олон талтуудад тодорхойлж, тэдгээрийн тухай янз бүрийн теорем батлахад ашигласан. Платоны биетүүдийн хувьд 1537 онд Франческо Мауролико хэвлэгдээгүй гар бичмэлдээ дурдсан байдаг. Харин Леонард Эйлер уг ойлголтыг ерөнхий гүдгэр олон талтад нэвтрүүлсэн ч инвариант гэдгийг нь хатуу батлаагүй. Орчин үеийн математикт Эйлерийн характеристик нь гомологиос, цаашлаад гомологи алгебраас үүдэлтэй.

Олон талтууд

Гурван хэмжээст олон талтын $V$ – орой, $E$ – ирмэг, $F$ – тал гэвэл, уг олон талтын гадаргуу дээрх Эйлерийн характеристик $χ$ нь $\chi =V-E+F.$

Ямар ч гүдгэр гурван хэмжээст олон талт биетийн гадаргуугийн Эйлерийн характеристик $\chi =2$ байна. Үүнийг 1758 онд Эйлер дэвшүүлсэн бөгөөд Эйлерийн олон талтын томьёо гэж нэрлэдэг. Энэ нь бөмбөлгийн Эйлерийн характеристиктай ( $\ \chi =2\$ ) адил. Бүх Платоны биетүүдийн томьёог доор харуулав.

Нэр	Орой $V$	Ирмэг $E$	Тал $F$	Эйлерийн характеристик: $\ \chi =V-E+F\$
Тетраэдр	4	6	4	2
Хексаэдр буюу куб	8	12	6	2
Октаэдр	6	12	8	2
Додекаэдр	20	30	12	2
Икосаэдр	12	30	20	2

Гүдгэр биш олон талтуудын гадаргуугийн Эйлерийн характерикстик нь янз бүр байж болно:

Нэр	Орой $V$	Ирмэг $E$	Тал $F$	Эйлерийн характеристик: $\ \chi =V-E+F\$
Тетрахемихексаэдр	6	12	7	1
Октахемиоктаэдр	12	24	12	0
Кубохемиоктаэдр	12	24	10	−2
Жижиг одон додекаэдр	12	30	12	−6
Том одон додекаэдр	20	30	12	2

Кэйлийн ерөнхийлөл

Артур Кэйли дараах томьёог ашиглан ерөнхийлсөн:

\ d_{v}V-E+d_{f}F=2D~.

Энд $D$ - нягтрал, $\ d_{v}\$ - огтлолын дүрсийн нягт, $\ d_{f}\$ - талын нягтрал.

Энэ нь гүдгэр (нягтрал нь бүх талдаа 1) болон гүдгэр бус Кеплер–Пуансогийн олон талт биетүүдэд хоёуланд нь хүчинтэй.

Проектив олон талтуудын Эйлерийн характеристик 1, харин тороид олон талтын гадаргууны Эйлерийн характеристик 0 байдаг.

Хавтгай граф

Холбогдсон хавтгай графын хувьд $\ V-E+F\$ (энд $F$ -д гаднах талыг оролцуулна).

Хэрэв граф $C$ бүрэлдэхүүн хэсэгтэй бол $\ V-E+F-C=1~.$

Эйлерийн томьёоны баталгаа

Эйлерийн томьёог олон аргаар баталж болдгийн нэг нь Кошийн баталгаа юм. Коши (1811) гүдгэр олон талтын нэг талыг авч, үлдсэнийг хавтгай граф болгон хувиргах аргаар баталсан. Үндсэн санаа нь:

диагональ нэмэхэд $\ V-E+F\$ өөрчлөгдөхгүй,

гурвалжингуудыг шат дараалан авч хасахад мөн хадгалагдана,

эцэст нь ганц гурвалжин үлдэж $\ V-E+F=1\$ болдог,

тэгэхээр анхны олон талт биетэд $\ V-E+F=2\$ .

Топологийн тодорхойлолт

Ямар ч хязгаарлагдмал CW-комплексын хувьд:

\chi =k_{0}-k_{1}+k_{2}-k_{3}+\cdots ,

энд k_{n</sub нь n-хэмжээст эсийн тоо.}

Симплициал комплексын хувьд ч мөн адил.

Бетти тоонуудын хувилбар

n-дэх Бетти тоо b_n-г ашиглавал:

\chi =b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+\cdots .

(бүх b_n хязгаарлагдмал үед).

Дифференциал геометрийн өнцгөөс

Хилгүй, чиглэлтэй, авсаархан гөлгөр олон хэлбэрт $X$ -д:

\chi (X)=I(\Delta ,\Delta )

энд $\Delta$ нь $X\times X$ доторх диагоналын өөртэйгөө огтлолцох тоо.

Шинж чанарууд

Гомотопийн инвариант

Гомотопиор адил огторгуйнууд ижил Эйлерийн характеристиктай.

Агшиж цэг болдог огторгуй: $\chi$ = 1

Гүдгэр олон талтын гадаргуу (сфер): $\chi$ = 2

Оролцоо-хасалтын зарчим

\chi (M\cup N)=\chi (M)+\chi (N)-\chi (M\cap N).

(тодорхой нөхцөлд).

Квотиент огторгуй

\chi (X)=\chi (A)+\chi (X/A)-1.

Холбосон нийлбэр

\chi (M\mathbin {\#} N)=\chi (M)+\chi (N)-\chi (S^{n}).

Үржвэрийн шинж

\chi (M\times N)=\chi (M)\cdot \chi (N).

Бүрхэлт (covering space)

k-давхар бүрхэлтэд:

\chi ({\tilde {M}})=k\cdot \chi (M).

Жишээнүүд

Гадаргуунууд

Нэр	Зураг	χ
Интервал		01
Тойрог		00
Дугуй		01
Бөмбөлөг		02
Тор (хоёр тойрог)		00
Давхар тор		−2
Гурвалсан тор		−4
Бодит проектив хавтгай		01
Мёбиусын тууз		00
Клайны лонх		00
Хоёр бөмбөлөг (холбогдоогүй)		2 + 2 = 4
Гурван бөмбөлөг (холбогдоогүй)		2 + 2 + 2 = 6
$n$ бөмбөлөг (холбогдоогүй)	...	2 + ... + 2 = 2n