Эллиптик оператор

Лапласын тэгшитгэлийн хариу цагариг дээр тодорхойлогдсон нь. Лапласын оператор бол эллиптик операторын хамгийн алдартай жишээ юм.

Тухайн уламжлалт дифференциал тэгшитгэлийн онолд эллиптик оператор гэдэг нь Лапласын операторыг ерөнхийлсөн дифференциал операторыг хэлнэ. Эллиптик байх нөхцөл нь операторын хамгийн өндөр эрэмбийн уламжлалуудын коэффициентууд эерэг байх явдал бөгөөд энэ нь үндсэн тэмдэг (principal symbol) нь урвуулагдах боломжтой, өөрөөр хэлбэл бодит характеристик чиглэл байхгүй гэсэнтэй дүйцнэ.

Эллиптик операторууд нь потенциалын онолд түгээмэл тохиолддог бөгөөд цахилгаан статик, тасралтгүй орчны механикт өргөн хэрэглэгддэг. Эллиптик регулярчлалын теоремоос харахад, хэрэв операторын коэффициентууд жигд бол түүний шийдүүд ихэвчлэн жигд функцүүд байна. Гиперболик болон параболик тэгшитгэлүүдийн тогтвортой төлвийн шийдүүд нь ерөнхийдөө эллиптик тэгшитгэлийг хангадаг.