Лагранжийн теорем (бүлгийн онол)

Бүлгийн онолд Лагранжийн теорем нь дараах байдлаар тодорхойлогдоно: Ямар ч төгсгөлөг бүлэг G-гийн хувьд дурын дэд бүлэг H-ийн зэрэг (элементүүдийн тоо) нь G-гийн зэргийн хуваагч байна. Уг теорем нь Жозеф Лагранжийн нэрээр нэрлэгдсэн.

Баталгаа

G-ийн дэд хэсгийг H-ээс, мөн g ∈ G, H-ийн зүүн coset-ийг g-ээр эсвэл Н-ийн зүүн хөрвүүлэгчийг g-ээр тэмдэглэвэл:

gH = {gH: h ∈ H} болно.

gH гэсэн тэмдэглэгээ нь зөв талаасаа энгийн товч бичлэг. Мөн түүнчлэн H-ийн баруун coset-ийг

Hg = {hg: h ∈ H}

Баталгаа: Эхлээд, G-ийн хэсэг болох Н гэсэн coset өгөгдсөн гэж үзэе. Өөрөөр хэлбэл G-ийн элемент бүр нь зарим зүүн талын Н-ийн соset-д хамаарна, мөн хэрвээ хоёр зүүн талын хН соset болон уН-ийн огтлолцлын цэг нь хоосон байж болохгүй бөгөөд хН=уН болно.

х = х * е ∈ хН, иймээс G-ийн элемент бүр нь Н-д харъяалагдана.

Үүнийг дараах байдлаар бичиж болно. xH ∩ yH ≠ ∅ for x,y ∈ G.

Лагранжийн теоремд хэрвээ H ∈ G байвал нөхцөл биелэгдэнэ.

Жишээлбэл: |G| =77 байвал төгсгөлөг групп буюу хуваагчид нь 1,7,11 эсвэл 77 байна гэсэн үг.

Теоремийн хэрэглээ

Энэхүү теоремийн ач холбогдол нь a төгсгөлөг бүлгийн дурын элементийн дэс дараалал (хамгийн бага эерэг бүхэл k тоо нь a^k = e, e нь бүлгийн ялгах элемент) нь уг бүлгийн дэс дарааллыг хуваадаг. a бүлэг нь a бүлгээс үүссэн цикллэг дэд бүлгийн дэс дараалалтай тэнцүү байна. Хэрэв бүлэг нь n элементтэй байвал:

$\displaystyle a^{n}=e{\mbox{.}}$ байна.

Энэ теоремийг ашиглан Fermat little theorem - ийг баталж болно мөн Euler - ийн теоремийн ерөнхийлөл нь Лагранжийн теорем юм. Эдгээр онцгой нөхцлүүд нь ерөнхий теорем батлагдахаас өмнө мэдэгддэг. Теорем нь анхны дэс дараалал нь ямар ч бүлгийг цикллэг болон энгийн гэдгийг харуулдаг. Wilson - ы теоремийг батлахад ашигладаг. P нь анхны тоо бол p нь (p-1)!+1 ийн үржигдэхүүн болно.

Өгөгдсөн дэс дарааллын дэд бүлгийн оршин тогтнол

Өгөгдсөн хязгаарлагдмал бүлэг G мөн |G|-н хуваагч d, эдгээр G-н дэд бүлэг нь оршихгүй. Хамгийн жижиг жишээ нь хувьсах бүлэг G=A4, 12 элементүүдтэй гэвч 6 дахь дэд бүлгийн дэс дараалал байхгүй. CLT бүлэг нь өмчтэй төгсөглөг бүлэг юм. Энэ нь a бүлгийн дэс дарааллын ихэнх хуваагч бүрийн хувьд тухайн дэс дарааллын дэд бүлэг гэж байдаг. CLT бүлэг нь шийдэгддэг байх ёстой ба төгс шийдэлтэй бүлэг бүр нь CLT бүлэг байдаг. Гэхдээ шийдвэртэй бүлэг байдаг ч гэсэн CLT бүлэг биш байж болдог. Жишээ нь: (A4, 4 дэх зэргийн хувьсах бүлэг) мөн CLT бүлэг нь төгс шийдэл биш (Жишээ нь S4, 4 дэх зэргийн симметрик бүлэг) Лагранжийн теорем хэсэгчилсэн харилцааны үндсэн дээр гарч ирсэн. Cauchy-н теорем нь элементийн оршин тогтнох баталгаа мөн бүлгийн дэс дарааллын анхдагч хуваагч юм. Sylow-ийн теором нь үүнийг дарааллын дэд групп аль ч үндсэн салангад дарааллын группын хамгийн ихтэй тэнцэх хүртэл өргөжүүлдэг. Харин Hall-ийн теоромууд нь дарааллыг хуваах ямар 1 дэд бүлэг дараалалд оршин байна гэдгийг баталдаг.

Түүх

Лагранж ерөнхий хэлбэрээр теоромийг баталж чадаагүй. Тэр хэлэхдээ Réflexions sur la résolution algébrique des équations хэсэгт бүх n! –д хувьсагчидын дарааллыг солих аргаар n хувьсагчидын олон гишүүнт, ихэвчлэн n! – н үржвэр хүлээн авсан ялгаатай олон гишүүнт байдаг гэжээ. Жишээ нь: (хэрвээ x, y, z хувьсагчдаар x + y - z олон гишүүнтийг нийт 6 янзаар дарааллыг нь сольж дараах 3 ялгаатай олон гишүүнтийг гаргаж авсан x + y − z, x + z - y, y + z − x.) Олон гишүүнтийг хадгалаж байгаа сэлгэмэлийн H дэд бүлгийн Sn тэгш хэмт бүлэгт олон гишүүнтийн тоогоор индексэлдэг. (x + y – z дэх (xy) шилжүүлэлт болон адилтгал багтаасан S3 дахь H дэд бүлгийн жишээ.) H – н хэмжээг n! – д хуваасан. Хийсвэр бүлгийн дараа хөгжил нь олон гишүүнтийн дээр Лагранжийн энэ үр дүн одоо түүний нэрээр нэрлэгдсэн төгсөглөг бүлгийн тухай ерөнхий теоремийн өргөтгөх хүлээн зөвшөөрдөг. Теоремын анхны бүрэн нотолгоог Гаусс тогтоосон ба 1801 онд түүний Disquisitiones Arithmeticae - д нийтлэгдсэн байна.