Коэффициенттэй цагираг

Коэффициенттэй цагирагын тухай

Цагирагийн онолын хувьд хийсвэр алгебрын салбар, коэффициенттэй цагираг, ноогдвор цагираг, ялгаатай цагираг^[1], үлдэгдэл хэсгийн цагираг зэргүүд нь шугаман алгебрын коэффициентын зай болон бүлэг теоремын нэгдлүүдээрээ их төстэй бүтэцтэй байдаг гэж өгүүлсэн байдаг ^[2]^[3]. Цагираг R, хоёр талт туйл I нь R-д байдаг бол коэффицентийг Цагираг нь R/I байна. Эдгээр элемендүүд нь I болон R нь + болон ⋅ операторын хамт ашиглагдана.Коэффицент цагиргууд бол коэффицент талбар өөрөөр ангиллын талбар гэгдэх ойлголтоос салангид тусдаа ойлголт бөгөөд зөвхөн энэ нэршилээс удамшиж гарсан салшгүй нэгэн хэсэг нь юм.

Албан ёсны коэффицент цагирагийн бүтэц

Дараах байдлаар цагираг R болон хоёр талт туйлын R дахь I нь өгөгдсөн бол бид R дээрх ~ нь эквивалент холбоог тодорхойлж болно:

a ~ b ≡ a − b is in I.

Хамгийн тохиромжтой шинж чанарыг ашиглах, ~ энэ нь уялдаа холбоог нь шалгах тийм ч хэцүү биш байдаг. a ~ b тохиолдолд бид a b нь I-н үлдэгдэл, R дахь элемент нь тэнцүү өгөгдсөн бол:

[a] = a + I := { a + r : r in I }.

Энэ адилтгах үйлдлийг заримдаа a mod I гэж бичдэг ба уншихдаа a -г I д хуваагаад үлдэгдэлийг авах гэж уншина.

Бүх буюу адилтгах ангийн багц R / I -ээр тэмдэглэв; Энэ нь нэг нь тодорхойлсон бол Цагираг, R нь модуляр /mod/ I-ийн коэффициент буюу коэффицентийн цагираг болдог.

(a + I) + (b + I) = (a + b) + I;
(a + I)(b + I) = (a b) + I.

R/I -ийн тэг элемент (0 + I) = I, мөн multiplicative адилтгал (1 + I) байна.

Жишээ

Z бүхэл тооний цагираг болон хийсвэр бүхэл тоонууд нь 2Z-ээр илэрхийлэгдсэн байдаг. Дараа нь Z/2Z цагирагийн коефицент нь зөвхөн хоёр элементүүд, тэг бүхэл тоонууц болон сондгой нэг тоотой байдаг. Дахин тодорхойлбол [z]=z+{2Z}:={z+2z: 2z in {2Z}} –д {2Z}, {2Z} нь тэгш тоонуудын хаана нь илүү зохимжтойг анхаарах. Энэ нь хоёр элементүүд болонF₂-той хязгаарлагдмал талбаруудаас тогтсон байгалийн изоморф юм. Хар ухаанаар бодоход: Хэрвээ та бүх тоонуудаас 0-г бодохдоо, бүх бүхэл тоонуудаас аль нэг нь 0 (хэрвээ энэ тэгш бол) эсвэл 1 (хэрвээ энэ нь сондгой эсвэл түүнээс гадна бүх тэгш тоонуудаас 1-ээр ялгагдсан) байна. Модул арифметик нь үндсэндээ коэифцент цагираг буюу Z/nZ дэх арифметик юм (ямар нэгэн N элементтэй үед).

↑ Jacobson, Nathan (1984). Structure of Rings (revised ed.). American Mathematical Soc. ISBN 0-821-87470-5.
↑ Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3rd ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.
↑ Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 0-387-95385-X.

[1] Jacobson, Nathan (1984). Structure of Rings (revised ed.). American Mathematical Soc. ISBN 0-821-87470-5.

[2] Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3rd ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.

[3] Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 0-387-95385-X.

[1]

[2]

[3]