Математик хуудасны эх кодыг харах

<!--:''[[Сургууль|Сургуулийн]] хичээлийн нэр төрөлд багтах "математик"-ийн тухай [[математик (боловсрол)]] хэсгээс үзнэ үү.''-->
[[Файл:Euclid.jpg|right|thumb|220px|МЭӨ III зууны Грекийн математикч, геометрын эцэг хэмээн нэрлэгддэг [[Евклид]], [[Рафаел|Рафаелийн]] ''[[Афины сургууль]]'' зургийн нэгэн хэсэг дээр дүрслэгдсэн байгаа нь.]]
'''Математик''' ([[Грек хэл|Грек]]: μάθημα, [[англи хэл|Англи]]: mathematics, [[орос хэл|Орос]]: математика) буюу '''Тоон ухаан''' нь [[тоо хэмжээ]], [[бүтэц]], [[огторгуй]], [[өөрчлөлт]] зэрэг ойлголтууд дээр төвлөрсөн мэдлэгийн цогц, мөн тэдгээрийн тухай судалдаг шинжлэх ухаан юм. Бенжамин Пиерс математикийг "зайлшгүй дүгнэлтүүдийг гаргадаг шинжлэх ухаан" хэмээсэн.<ref>Peirce, хууд.97</ref> Линн Стийн<ref>Steen, L.A., (April 29, 1988). ''The Science of Patterns.'' Science, 240: 611–616. тойм: {{Webarchiv|url=http://www.ascd.org/portal/site/ascd/template.chapter/menuitem.1889bf0176da7573127855b3e3108a0c/?chapterMgmtId=f97433df69abb010VgnVCM1000003d01a8c0RCRD |wayback=20070929010703 |text=Association for Supervision and Curriculum Development. |archiv-bot=2023-09-26 13:43:05 InternetArchiveBot }}</ref> ба Кейт Девлин<ref> Devlin, Keith, ''Mathematics: The Science of Patterns: The Search for Order in Life, Mind and the Universe'' (Scientific American Paperback Library) 1996, ISBN-10: 0716760223 </ref> нар математик нь зүй тогтлын шинжлэх ухаан бөгөөд тоонууд, огторгуй, шинжлэх ухаан, компьютер, эсвэл хийсвэр зүйлүүдэд зүй тогтлуудыг эрдэг гэж үзсэн.

Математик нь [[тоолох]], [[тооцоолох]] ба [[хэмжих]] үйлдлүүд, мөн физик объектуудын [[хэлбэр дүрс]] ба [[хөдөлгөөн|хөдөлгөөний]] системтэй судалгаан дээр [[хийсвэрлэл]], [[логик]] сэтгэлгээг хэрэглэсний үр дүнд үүссэн. Математикчид эдгээр ойлголтуудын талаар шинэ [[таамаглал]] дэвшүүлж, тэдгээрийн үнэн болохыг зохих [[аксиом|аксиомууд]] ба [[тодорхойлолт|тодорхойлолтуудаас]] логик дүрмүүдийг чанд баримтлан батлах зорилготой судалгаа хийдэг.<ref>Jourdain</ref>

Математикийн наад захын хэмжээний мэдлэг ба хэрэглээ нь хувь хүн болон нийгмийн зайлшгүй чухал хэсэг болсоор ирсэн. Энэ үндсэн санаануудын сайжруулсан хэлбэр [[эртний Египет]], [[Вавилони]], [[эртний Энэтхэг|Энэтхэг]], [[эртний Хятад|Хятад]] ба [[эртний Грек|Грекийн]] ном судруудад хадгалагдан үлдсэн байдаг. Хамгийн анх Евклид [[Эхлэл|"Эхлэл"]] бүтээлдээ логикийн хатуу чанд хэрэглээ ямар байх ёстойг харуулсан. Үүнээс хойш математикт том дэвшил гарах нь их цөөн байж байгаад [[XVI зуун|XVI зууны]] [[Сэргэн Мандлын Үе|Сэргэн Мандлын Үед]] математикийн шинэчлэл дараа дараагаараа гарч байсан [[шинжлэх ухааны нээлт|шинжлэх ухааны нээлтүүдтэй]] харилцан үйлчилсний дүнд өнөөг хүртэл үргэлжилсэн их хурдацтай судалгааг эхлүүлсэн юм.<ref>Eves</ref>

[[Өнөөдөр математик]] нь [[байгалийн шинжлэх ухаан]], [[инженерчлэл]], [[анагаах ухаан]], [[эдийн засаг]] гэх мэт олон салбаруудад дэлхий даяар хэрэглэгдэж байна. Математикийг эдгээр салбарт хэрэглэснийг ихэвчлэн [[хэрэглээний математик]] гэдэг ба энэ нь математикийн нээлтүүдийг хэрэглэдэг, уг нээлтүүдэд хүргэдэг, заримдаа цоо шинэ шинжлэх ухааныг ч төрүүлдэг математикийн нэг салбар юм. Математикчид мөн [[цэвэр математик|цэвэр математикийн]], өөрөөр хэлбэл юунд хэрэглэхийг нь харгалзахгүйгээр зөвхөн математикийг өөрийг нь судлах судалгаа хийдэг. Сонирхолтой нь цэвэр математикийн ихэнх судалгаанууд эрт орой хэзээ нэгэн цагт амьдрал практикт хэрэглэгддэг байна.<ref>Peterson</ref> [[Математикийн гоо сайхан]] чанар нь математикчдын мэргэжилдээ дурлах гол шалтгаан болдог.

== Математик хэмээх нэрний учир нь ==
Манай орон төдийгүй дэлхийн ихэнх оронд хэрэглэгддэг «математик» гэдэг үг нь [[эртний грек хэл|эртний грек хэлний]] μάθημα (''máthema'', монголоор: сурах, судлах, шинжлэх) ба холбогдох тэмдэг нэр болох μαθηματικός (''mathēmatikós'', монголоор: сурах, судлахтай холбоотой) гэдгээс гаралтай.

== Түүх ==
[[Файл:Quipu.png|thumb|right|Дундад эртний үед Өмнөд Америкт оршин тогтнож байсан [[Инкагийн Эзэнт Гүрэн|Инкагийн Эзэнт Гүрэнд]] тоолохдоо олсон зангилаанаас бүтсэн "куипу" гэгдэх энэхүү багажийг хэрэглэдэг байв]]

Бүх математикийн түүхийг төвшин нь улам улам өндөрсөх [[хийсвэрлэл|хийсвэрлэлүүдийн]] дараалал, эсвэл судлах зүйлүүдийнх нь хүрээ яаж өргөссөн тухай түүх гэж үзэж болно. Хамгийн анхны хийсвэрлэл нь [[тоо]] байсан байж мэднэ. Гурван үхэр ба гурван чулууны хооронд ямар нэг ерөнхий зүйл байгааг ойлгосон явдал хүний сэтгэхүйд гарсан том үсрэлтүүдийн нэг байсан юм. Бодит ''физик'' объектуудыг [[Тоолох|тоолж]] сураад зогсохгүй эртний хүмүүс ''хийсвэр'' хэмжигдэхүүнүүдийг тоолж эхэлсэн. Жишээлбэл [[цаг хугацаа|цаг хугацааг]] тоолохын тулд [[өдөр]], [[сар]], [[жил]] хэмээх ойлголтуудыг хэрэглэж ирсэн. Үүний дараа [[арифметик]] ([[нэмэх]], [[хасах]], [[үржих]], [[хуваах]]) хөгжсөн ба эртний балгасын ул мөрүүд тэр үеийн хүмүүс [[геометр|геометрийн]] мэдлэгтэй байсныг гэрчилдэг.

Цаашилбал тоонуудыг бүртгэж авах ямар нэг арга, жишээлбэл бичих, жижиг чулуунууд ашиглах, эсвэл [[Инкагийн Эзэнт Гүрэн|Инкагийн Эзэнт Гүрэнд]] хэрэглэдэг байсан шиг [[куйпу]] гэгдэх олсон зангилаа хэрэг болж эхэлсэн байна. Энэ явцдаа хүн төрөлхтөн төрөл бүрийн [[тооллын систем|тооллын системүүдийг]] зохиожээ.

Түүхэнд тэмдэглэгдэж үлдсэнээр математикт хамрагдах гол салбарууд [[татвар]] ба [[худалдаа|худалдаатай]] холбоотой тооцоо хийх, тоонуудын хоорондох харьцаа хамаарлуудыг ойлгох, [[Газар хэмжилт|газрыг хэмжих]], [[Одон орон|одон орны үзэгдлүүдийг]] урьдчилан хэлэх шаардлагуудаас үүдэн бий болсон аж. Эдгээр шаардлагуудыг барагцаагаар ''тоо хэмжээ'', ''бүтэц'', ''огторгуй'', ба ''өөрчлөлт''ийн судалгаануудад харгалзуулж болж байгааг анзаараарай.

Энэ үеэс хойш математик асар ихээр өргөжсөн бөгөөд математик ба шинжлэх ухаанууд хоорондоо нягт холбоотойгоор хөгжсөн. Математикийн нээлтүүд түүхийн туршид хийгдэж ирсэн ба одоо ч хийгдсээр байгаа. [[Америкийн Математикийн Нийгэмлэгийн Мэдээ]] сэтгүүлийн 2006 оны 1-р сарын дугаарт Михайл Б. Севрюкийн бичсэнээр "[[Математикийн Судалгаа]] санд 1940 （энэ сангийн ажиллаж эхэлсэн жил）оноос хойш хамрагдсан ном хэвлэлүүдийн тоо нь одоо 1.9 саяыг даваад байгаа ба жил бүр 75 мянган ном хэвлэл нэмэгдэж байна. Энэ их далай дахь ажлууд бараг бүгдээрээ математикийн [[теорем|теоремууд]] ба тэдгээрийн [[математик баталгаа|баталгаануудыг]] агуулдаг".<ref>Sevryuk</ref>

== Гадны нөлөөлөл, цэвэр ба хэрэглээний математик, гоо сайхан ==
[[Файл:GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg|right|thumb|[[Исаак Ньютон]] (1643-1727), бүх үеийн хамгийн агуу физикч, [[Интеграл ба дифференциал тоолол|интеграл ба дифференциал тооллыг]] үндэслэгчдийн нэг.]]
[[Файл:Hopf-torus.jpg|right|thumb|[[Хопфын тор]].]]

Хаана л тоо хэмжээ, бүтэц, огторгуй, эсвэл өөрчлөлт оролцсон хэцүү бодлогууд байна тэнд математик илэрдэг. Ийм бодлогууд эхлээд [[худалдаа]], [[газар хэмжилт]], сүүлд [[одон орон|одон оронд]] олддог байсан бөгөөд одоо үед бүх шинжлэх ухаан, түүнчлэн математик өөрөө төрөл бүрийн математикийн бодлогуудын эх үүсвэр болдог. Тухайлбал [[Исаак Ньютон]] [[Интеграл ба дифференциал тоолол|интеграл ба дифференциал тооллыг]] үндэслэгчдийн нэг байсан, [[Фейнманы замын интеграл|Фейнманы замын интегралыг]] физик сэтгэлгээний үндсэн дээр [[Фейнман]] оруулсан, мөн өнөөгийн [[утасны онол]] шинэ математикийг бий болгоход нөлөөлж байна.
Математикийн зарим онолууд зөвхөн түүнийг бий болгоход нөлөөлсөн талбарт л ашиглагддаг бол ихэнх онолууд бусад олон талбарт мөн ашиглагддаг. "Хамгийн цэвэр" математикт ч хэзээ нэгэн цагт ашиглагдах газар олддог явдлыг [[Евген Вигнер]] [[математикийн ер бусын хэмнэлттэй байдал]] гэж нэрлэсэн.

Математикийг дотор нь барагцаагаар [[цэвэр математик]] ба [[хэрэглээний математик]] гэж хоёр том хэсэгт хуваадаг. Хэрэглээний математикийн олон салбар математикийн гаднах харгалзах шинжлэх ухаануудтай нийлж [[статистик]], [[үйлдлийн судалгаа]], [[компьютер судлал]] гэх мэт биеэ даасан шинэ шинжлэх ухаанууд болж хөгжсөн. 

Математикт [[энгийн байдал]] ба [[ерөнхий байдал]] чухал. Мөн [[Евклид|Евклидийн]] [[энгийн тоо|энгийн тооны]] тоог хязгааргүй гэж баталсан баталгаа шиг ур ухаан шаардсан баталгаа, [[Фурьегийн хурдан хувиргалт]] шиг тооцооллыг хурдасгах аргуудад гоо сайхан чанар бий. Ихэнх математикчид өөрийн ажлаас болон математикаас гоо сайхны таашаал авдаг. Зарим [[математикчид]] математикийг [[урлаг|урлагийн]] төрөл, ядаж л бүтээлч үйл ажиллагаа гэж үздэг бөгөөд математикийг [[хөгжим]] ба [[яруу найраг|яруу найрагтай]] жишдэг.

[[Бертранд Рассел]] математикийн гоо сайхныг ингэж илэрхийлжээ:
<blockquote>
Математикийг зөвөөр харвал энэ нь зөвхөн үнэнийг агуулаад зогсохгүй дээд гоо сайхан - баримал мэт хүйтэн бөгөөд хатуу чанд, бидний сул байдлын аль ч талтай холбоогүй, зураг эсвэл хөгжим шиг элдэв гоёл чимэглэл байхгүй боловч гайхамшигтай цэвэр бөгөөд зөвхөн хамгийн сайн урлагтай зүйрлэж болохоор гуйвшгүй төгс төгөлдөр байдалтай холбоотой тийм гоо сайхныг агуулдаг. Хамгийн дээд давамгайллын жишиг болсон жинхэнэ баяр бахдал, сэтгэлийн хөөрөл, мах цуснаас бүтсэн хүнээс илүү болохоо мэдрэх мэдрэмжийг математикаас яруу найрагтай адилаар олж болно.
</blockquote>

[[Поль Эрдос]] ингэж хэлсэн байна: "''Тоонууд яагаад сайхан гэж? Энэ нь яагаад Бетховений 9-р симфони сайхан бэ гэж асуусантай адил. Хэрэв чи яагаад гэдгийг нь харахгүй байгаа бол хэн ч чамд ойлгуулж чадахгүй. Би тоонууд сайхан гэдгийг мэдэж байна. Хэрэв тоо сайхан биш бол юу ч тийм биш."

== Математикийн салбарууд ==
[[Файл:Abacus 6.png|right|thumb|Хятад [[сампин]]. Эхний үеийн математик нь бүхлээрээ практик тооцоо хийхтэй холбоотой байсан.]]

Дээр дурдсанаар математикийн гол салбарууд татвар ба худалдаатай холбоотой тооцоо хийх, тоонуудын хоорондох харьцаа хамаарлуудыг ойлгох, газрыг хэмжих, одон орны үзэгдлүүдийг урьдчилан хэлэх шаардлагуудаас үүдэн бий болсон. Эдгээр шаардлагуудыг барагцаагаар ''тоо хэмжээ'', ''бүтэц'', ''огторгуй'', ба ''өөрчлөлт''ийн судалгаануудад (ө.х. [[арифметик]], [[алгебр]], [[геометр]], ба [[математик анализ|анализ]]) харгалзуулж болно. Эдгээр гол хэсгүүдээс гадна математикийн цөмөөс бусад салбарууд руу холбогдсон холбоог судлах зорилготой дэд хэсгүүд бий: [[Математик логик|логик]], [[олонлогийн онол|олонлогийн онолтой]] холбоотой [[Математикийн тулгуур салбарууд|тулгуур салбарууд]], төрөл бүрийн шинжлэх ухааны туршлагын математиктай холбоотой [[хэрэглээний математик]] гэх мэт.

=== Тоо хэмжээ ===
Тоо хэмжээний судлал нь бидний мэдэх [[натурал тоо|натурал тоонууд]], [[бүхэл тоо|бүхэл тоонууд]] ба тэдгээр дээр хийгдэх арифметик үйлдлүүдээр эхлэх бөгөөд энэ нь [[арифметик|арифметикийг]] төрүүлнэ. Бүхэл тоонуудын илүү гүнзгий шинж чанаруудыг [[тооны онол]] судлах ба [[Фермагийн сүүлчийн теорем]] гэх мэт үр дүнгүүдийг гаргадаг. Тооны онолын алдартай бодогдоогүй бодлогуудад [[Хос энгийн тооны таамаглал|хос энгийн тооны]] болон [[Гольдбахын таамаглал|Гольдбахын]] таамаглалууд орно.

Тоон системийн цаашдын хөгжил бүхэл тоонуудыг [[рациональ тоо|рациональ тоонууд]] буюу "бутархай" тоонуудын [[дэд олонлог]] болгоход хүргэсэн. Рациональ тоонууд нь мөн өөрийн ээлжинд тасралтгүй тоо хэмжээг илэрхийлдэг [[бодит тоо|бодит тоонуудад]] агуулагдана. Бодит тоонууд нь комплекс тоонууд руу өргөтгөгддөг. Энэ шаталсан дараалал цаашаа [[кватернион]] ба [[октонион]] хүртэл явна. Нөгөө талаас натурал тоонуудын судлал төгсгөлгүй хүртэл тоолохыг формальжуулдаг [[трансфинит тоо|трансфинит тоонуудад]] хүргэдэг. Хэмжээний судлал [[кардинал тоо|кардинал тоонуудыг]] оруулдаг бөгөөд энэ нь төгсгөлгүй том хэмжээтэй олонлогуудыг хооронд нь харьцуулах боломж олгодог [[альеф тоо|альеф тоонуудад]] хүргэнэ.

:{| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="20"
| <math>1, 2, 3\,\!</math> || <math>-2, -1, 0, 1, 2\,\!</math> || <math> -2, \frac{2}{3}, 1.21\,\!</math> || <math>\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5},\!</math>|| <math>-e, \sqrt{2}, 3, \pi\,\!</math> || <math>2, i, -2+3i, 2e^{i\frac{4\pi}{3}}\,\!</math> 
|-
| [[Натурал тоо|Натурал тоонууд]]|| [[Бүхэл тоо|Бүхэл тоонууд]] || [[Рациональ тоо|Рациональ тоонууд]] || [[Иррациональ тоо|Иррациональ тоонууд]] || [[Бодит тоо|Бодит тоонууд]] || [[Комплекс тоо|Комплекс тоонууд]] 
|}

=== Бүтэц ===

[[Олонлог]], [[функц (математик)|функц]] гэх мэт олон математик объектууд өөрийн дотоод бүтэцтэй байдаг. Ийм объектуудын бүтцийн шинж чанаруудыг [[бүлэг (математик)|бүлэг]], [[цагираг (математик)|цагираг]], ба [[талбар (математик)|талбар]] болон бусад абстракт системүүдийн тусламжтай судалдаг. Эдгээр нь өөрсдөө мөн математик объектууд болох бөгөөд эдгээрийн судалгаа [[абстракт алгебр|абстракт алгебрыг]] бүрдүүлнэ. Нэг чухал ойлголт бол [[вектор|векторууд]] ба эдгээрийг [[вектор огторгуй]] болгож өргөтгөн [[шугаман алгебр|шугаман алгебрт]] судална. Векторуудын судалгаа нь тоо хэмжээ, бүтэц, огторгуй гэсэн математикийн гурван үндсэн судлагдахууныг нэг дор авч үздэг. Цаашилбал [[вектор тоолол|вектор тоололд]] дөрөвдэх үндсэн судлагдахуун болох өөрчлөлтийг мөн авч үздэг байна.

:{| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15"
| [[Файл:Elliptic curve simple.png|96px]] || [[Файл:Rubik float.png|96px]] || [[Файл:Group diagdram D6.svg|96px]] || [[Файл:Lattice of the divisibility of 60.svg|96px]]
|-
| [[Тооны онол]] || [[Абстракт алгебр]] || [[Бүлгийн онол]] || [[Эрэмбийн онол]]
|}

=== Огторгуй ===
Огторгуйн судалгаа нь [[геометр|геометрээс]], тухайлбал [[Евклидийн геометр|Евклидийн геометрээс]] эхлэлтэй. [[Тригонометр]] нь огторгуй, тоо хоёрыг хооронд нь холбодог ба бидний сайн мэдэх [[Пифагорын теорем]] дээр үндсэндээ тулгуурладаг. Огторгуйн тухай орчин үеийн онолууд эдгээр санаануудыг өргөтгөн олон хэмжээст геометр, [[Евклидийн биш геометр|Евклидийн биш геометрууд]] (энэ геометрууд [[харьцангуйн ерөнхий онол|харьцангуйн ерөнхий онолд]] гол үүрэг гүйцэтгэдэг) ба [[топологи|топологийг]] судалдаг. [[Аналитик геометр]], [[дифференциал геометр]], болон [[алгебрлаг геометр|алгебрлаг геометрт]] тоо хэмжээ ба огторгуй хоёул чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Дифференциал геометр нь [[ширхэг багц]] ба [[цогцос]] дээрх тооллыг агуулна. Алгебрлаг геометр нь геометрын объектуудыг [[олон гишүүнт]] тэгшитгэлүүдийн шийдийн олонлогоор дүрсэлснээр тоо хэмжээ ба огторгуйг хооронд нь холбоод зогсохгүй [[топологи бүлэг|топологи бүлгийн]] тухай судалж бүтэц ба огторгуйг хооронд нь холбодог байна. [[Ли бүлэг|Ли бүлгүүдийг]] огторгуй, бүтэц, өөрчлөлтийг зэрэг судлахад ашигладаг. [[Топологи]] нь бүх дүрс хувирлуудынхаа хамт магадгүй XX зуунд хамгийн их хөгжсөн математикийн салбар юм. Энд жишээлбэл удаан хугацаанд шийдэгдээгүй байсан [[Пуанкарьегийн таамаглал]] ба компьютерээр баталсан боловч хүн хэзээ ч баталгааг нь шалгаагүй [[дөрвөн өнгийн теорем]] зэрэг хамрагдана.

:{| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15"
| [[Файл:Pythagorean.svg|96px]] || [[Файл:Taylorsine.svg|96px]] || [[Файл:Osculating circle.svg|96px]] || [[Файл:Torus.png|96px]] || [[Файл:Von koch 6 etapes.svg|96px]]
|-
|[[Геометр]] || [[Тригонометр]] || [[Дифференциал геометр]] || [[Топологи]] || [[Фрактал геометр]]
|}

=== Өөрчлөлт ===
Өөрчлөлт хувьслыг ойлгож тайлбарлах асуудал нь [[байгалийн шинжлэх ухаан|байгалийн шинжлэх ухааны]] нийтлэг асуудал бөгөөд [[интеграл ба дифференциал тоолол]] нь яг үүнийг судлахын тулд бий болгосон хүчтэй хэрэгсэл юм. Өөрчлөгдөж байгаа хэмжигдэхүүнийг илэрхийлэх тулгуур ойлголт болгон [[функц|функцийг]] энд оруулж ирдэг. Бодит тоонууд ба бодит утга авдаг функцүүдийн судалгааг [[бодит анализ]] гэдэг бөгөөд комплекс тоотой холбоотой ийм салбарыг нь [[комплекс анализ]] гэж нэрлэдэг. Математикийн хамгийн тулгуур шийдэгдээгүй асуудлуудын нэг болох [[Риманы таамаглал]] комплекс анализаас урган гарсан. [[Функционал анализ]] нь функцүүдийн (ерөнхийдөө төгсгөлгүй хэмжээстэй) [[огторгуй]] дээр төвлөрдөг бөгөөд үүний нэг хэрэглээ нь [[квант механик]] юм. Нийтлэг илэрдэг тоо хэмжээ болон түүний өөрчлөлтийн хоорондох холбоог [[дифференциал тэгшитгэл]] болгож судалдаг. Байгалийн олон үзэгдэл [[динамик систем|динамик системээр]] илэрхийлэгддэг. Эдгээр системүүд ямар үед [[детерминистик]] боловч урьдчилж таахын аргагүй шинж байдал үзүүлэх вэ гэдгийг [[хаосын онол|хаосын онолд]] судална.

{| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="20"
| [[Файл:Integral_as_region_under_curve.svg|96px]]  || [[Файл:Vectorfield_jaredwf.png|96px]] ||  || [[Файл:Limitcycle.jpg|96px]] || [[Файл:Lorenz attractor.svg|96px]]
|-
| [[Интеграл ба дифференциал тоолол]] || [[Вектор тоолол]]|| [[Дифференциал тэгшитгэл]] || [[Динамик систем]] || [[Хаосын онол]]
|}

=== Тулгуур салбарууд ба философи ===
Бүх математикийн дээр нь тогтож байгаа [[Математикийн тулгуур салбарууд|үндэс суурийг]] тодорхой болгохын тулд [[математик логик]] ба [[олонлогийн онол]], мөн одоогоор бүрэн төгөлдөржөөгүй байгаа [[категорийн онол|категорийн онолыг]] үүсгэжээ.

Математик логик нь математикийг хатуу [[аксиом|аксиомчилсан]] системийн хүрээнд авч үзэх ба үүнээс гарах үр дагавруудыг судалдаг. Энд жишээлбэл логикийн хамгийн алдартай үр дүн байж мэдэх [[Гёделийн гүйцэд бусын хоёрдугаар теорем]] хамаарагдана. Энэ теорем нь (барагцаагаар хэлбэл) үндсэн арифметикийг багтаасан дурын формаль систем хэрэв уг системд баталж болох бүх теорем үнэн бол ''уг систем дотор'' батлах боломжгүй, үнэн теоремууд оршин байна гэдэг. Гёдель тооны онолын дурын аксиомууд өгөгдсөн байхад уг аксиомуудаас гарахгүй, тооны онолын үнэн баримтыг илэрхийлэх логик өгүүлбэрийг яаж байгуулахыг зааж өгсөн. Иймд ямар ч формаль систем тооны онолын жинхэнэ аксиомчлал болж чадахгүй юм. Орчин үеийн логик нь [[рекурсын онол]], [[моделийн онол]], ба [[баталгааны онол]] гэж хуваагддаг бөгөөд [[Онолын компьютер судлал|онолын]] [[компьютер судлал|компьютер судлалтай]] нягт холбоотой оршдог.

:{| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15"
| <math> P \Rightarrow Q \,</math>|| [[Файл:Venn A intersect B.svg|128px]] || [[Файл:Commutative diagram for morphism.svg|96px]] 
|-
| [[Математик логик]] || [[Олонлогийн онол]] || [[Категорийн онол]] || 
|}

=== Дискрет математик ===
[[Дискрет математик]] нь ерөнхийдөө [[онолын компьютер судлал|онолын компьютер судлалд]] хэрэглэгддэг математикийн салбаруудыг нэрлэсэн нэр юм. Үүнд [[тооцоологдох байдлын онол]], [[тооцооллын нийлмэл байдлын онол]], ба [[мэдээллийн онол]] багтана. Тооцоологдох байдлын онол нь одоогоор мэдэгдэж байгаа хамгийн хүчирхэг загвар болох [[Тюрингийн загвар|Тюрингийн загварыг]] оролцуулан компьютерийн төрөл бүрийн онолын загваруудын боломжийн хязгаарыг судалдаг. Нийлмэл байдлын онол нь компьютер ашиглан бодлогуудыг бодох үед зарцуулах өртгийг судална. Зарим бодлогыг зарчмын хув
 компьютерээр бодож болох боловч практик дээр компьютер хичнээн ч хөгжлөө гэсэн бүтээх аргагүй их санах ой болон цаг хугацаа шаардахаар байж болдог. Өгөгдсөн орчинд хэр их хэмжээний мэдээлэл хадгалж болох вэ гэдгийг мэдээллийн онол судлах ба [[өгөгдлийг шахах]], [[энтропи]] гэх мэт ойлголтуудыг оруулж ирдэг.

Харьцангуй шинэ салбар тул дискрет математикт шийдэгдээгүй тулгуур асуудлууд нилээд бий. Эдгээрээс хамгийн алдартай нь [[Мянганы Шагналт Бодлогууд|Мянганы Шагналт Бодлогуудын]] нэг болох "[[Нийлмэл байдлын ангиуд P ба NP|P=NP?]]" бодлого юм.

:{| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15"
| <math>\begin{matrix} (1,2,3) & (1,3,2) \\ (2,1,3) & (2,3,1) \\ (3,1,2) & (3,2,1) \end{matrix}</math> || [[Файл:DFAexample.svg|96px]] || [[Файл:Caesar3.svg|96px]] || [[Файл:6n-graf.svg|96px]]
|-
| [[Комбинаторик]] || [[Тооцооллын онол]] || [[Криптограф]] || [[Графын онол]]
|}

=== Хэрэглээний математик ===
[[Шинжлэх ухаан]], [[бизнес]] болон бусад салбарт математикийн абстракт аппаратыг ашиглах явдлыг хэрэглээний математикт авч үздэг. Хэрэглээний математикийн нэг чухал салбар нь [[статистик]] бөгөөд энд [[магадлалын онол|магадлалын онолыг]] ашиглан тохиолдох эсэх нь тодорхойгүй үзэгдлүүдийг тайлбарлах, шинжлэх, урьдчилсан таамаг гаргах талаар судална. Ихэнх туршилт, хайгуул, болон ажиглалтууд статистикийн ядаж анхан шатны мэдлэг шаарддаг. Ерөнхийдөө хүний тооцон бодох чадвараас хэт давсан төрөл бүрийн математикийн бодлогуудыг хэмнэлттэйгээр тооцоолох аргуудыг [[тоон анализ]] судалдаг. Энд тухайлбал [[тоймлолын алдаа]] болон бусад алдааны эх үүсвэрүүдийг шинжлэх явдал орно.

:[[Математик физик]] • [[Аналитик механик]] • [[Математик шингэний динамик]] • [[Тоон анализ]] • [[Оптимизаци]] • [[Магадлал]] • [[Статистик]] • [[Математик эдийн засаг]] • [[Санхүүгийн математик]] • [[Тоглоомын онол]] • [[Математик биологи]] • [[Криптограф]] • [[Үйлдлийн шинжилгээ]]

== Мөн үзэх ==
* [[Математиктай холбоотой нийтлэлүүдийн жагсаалт]] 
* [[Математикийн философи]]
* [[Боловсрол]] 
* [[Математикийн бодлого]]
* [[Математикийн уралдаан тэмцээнүүд]]
* [[Математикчдын жагсаалт]]
* [[Монголын Математикчдын Холбоо]]

== Тэмдэглэлүүд ==

<div style="font-size:92%">
<references/>
</div>

== Ном хэвлэл ==

<div style="font-size:92%">
* Eves, Howard, ''An Introduction to the History of Mathematics'', Sixth Edition, Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0.
* Jourdain, Philip E. B., ''The Nature of Mathematics'', in ''The World of Mathematics'', James R. Newman, editor, Dover, 2003, ISBN 0-486-43268-8.
* {{cite journal|title=Linear Associative Algebra|first= Benjamin|last= Peirce|journal= American Journal of Mathematics|issue= Vol. 4, No. 1/4. (1881|, pages= 97-229|url= http://links.jstor.org/sici?sici=0002-9327%281881%294%3A1%2F4%3C97%3ALAA%3E2.0.CO%3B2-X}} JSTOR. 
* Peterson, Ivars, ''Mathematical Tourist, New and Updated Snapshots of Modern Mathematics'', Owl Books, 2001,  ISBN 0-8050-7159-8.
* {{cite journal| last=Sevryuk | first=Mikhail B. | authorlink = | year = 2006| month = January| title = Book Reviews| journal = Bulletin of the American Mathematical Society| volume = 43| issue = 1| pages = 101-109| url = http://www.ams.org/bull/2006-43-01/S0273-0979-05-01069-4/S0273-0979-05-01069-4.pdf| format = PDF| accessdate = }}
</div>

{{Template:Математик}}
{{Шинжлэх Ухаан}}

[[Ангилал:Википедиа:Онцлох өгүүлэл]]
[[Ангилал:Математик| ]]
[[Ангилал:Шинжлэх ухааны мэргэжлийн салбар]]