Дифференциал тэгшитгэл

Математикт дифференциал тэгшитгэл (Англи: differential equation) гэдэг нь нэг буюу хэд хэдэн үл мэдэгдэх функц болон тэдгээрийн уламжлалуудын хоорондын хамаарлыг илэрхийлсэн тэгшитгэл юм. Хэрэглээний шинжлэх ухаанд функцүүд нь ихэвчлэн физик хэмжигдэхүүнүүдийг төлөөлдөг бол уламжлалууд нь тэдгээр хэмжигдэхүүний өөрчлөлтийн хурдыг илэрхийлдэг. Дифференциал тэгшитгэл нь эдгээр хоёрын хоорондын харилцан хамаарлыг тодорхойлдог.

Ийм харилцан хамаарал нь түгээмэл байдаг тул дифференциал тэгшитгэл нь инженерчлэл, физик, эдийн засаг, биологи зэрэг олон салбарт чухал үүрэг гүйцэтгэдэг.

Дифференциал тэгшитгэлийн судалгаа нь голчлон тэдгээрийн шийд (тэгшитгэлийг хангах функцүүдийн олонлог) болон шийдийн шинж чанарыг судлахад чиглэдэг. Зөвхөн хамгийн энгийн дифференциал тэгшитгэлүүдийг тодорхой томьёогоор (аналитик байдлаар) шийдэж болдог. Гэсэн хэдий ч өгөгдсөн дифференциал тэгшитгэлийн шийдийн олон шинж чанарыг тэдгээрийг нарийн тооцоололгүйгээр тодорхойлох боломжтой байдаг.

Хэрэв шийдийн битүү хэлбэрийн (closed-form) илэрхийлэл олдохгүй бол компьютерын тусламжтайгаар тоон аргаар (numerical methods) ойролцоо шийдийг гарган авч болно. Динамик системийн онол нь дифференциал тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон системийн чанарын шинжилгээнд анхаарлаа хандуулдаг бол шийдийг өгөгдсөн нарийвчлалтайгаар олох олон тоон аргууд боловсруулагдсан байдаг.

Түүх

Дифференциал тэгшитгэл нь Исаак Ньютон, Готфрид Лайбниц нар дифференциал тооллыг нээснээр үүссэн. 1671 онд бичсэн Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum бүтээлийнхээ 2-р бүлэгт Исаак Ньютон гурван төрлийн дифференциал тэгшитгэлийг жагсаасан байдаг:

${\frac {dy}{dx}}=f(x)$

${\frac {dy}{dx}}=f(x,y)$

$x_{1}{\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}+x_{2}{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}=y$

Эдгээр бүх тохиолдолд $y$ нь $x$ (эсвэл $x_{1}$ ба $x_{2}$)-ээс хамаарсан үл мэдэгдэх функц бөгөөд $f$ нь өгөгдсөн функц юм. Тэрээр эдгээр жишээг хязгааргүй цуваа ашиглан шийдэж, шийдийн цор ганц бус байдлын талаар хэлэлцсэн байдаг.

Якоб Бернулли 1695 онд Бернуллийн дифференциал тэгшитгэлийг санал болгосон. Энэ нь дараах хэлбэрийн ердийн дифференциал тэгшитгэл юм: :$y'+P(x)y=Q(x)y^{n}$

Түүхэн утгаараа хөгжмийн зэмсгийн хэлбэлзэж буй утсаар төлөөлүүлэн судалсан чичиргээний бодлогыг Жан ле Рон д'Аламбер, Леонард Эйлер, Даниел Бернулли, Жозеф-Луи Лагранж нар судалж байжээ. 1746 онд д'Аламбер нэг хэмжээст долгионы тэгшитгэлийг, харин арав гаруй жилийн дараа Эйлер гурван хэмжээст долгионы тэгшитгэлийг нээсэн.

Жишээ

Сонгодог механикаар биеийн хөдөлгөөнийг цаг хугацааны явцад өөрчлөгдөх байрлал болон хурдаар нь тодорхойлдог. Ньютоны хуулиуд нь эдгээр хувьсагчийг (биеийн байрлал, хурд, хурдатгал болон үйлчилж буй хүч өгөгдсөн үед) биеийн үл мэдэгдэх байрлалыг хугацааны функц болгон илэрхийлсэн дифференциал тэгшитгэл болгон динамикаар илэрхийлэх боломжийг олгодог.

Зарим тохиолдолд энэ дифференциал тэгшитгэлийг (хөдөлгөөний тэгшитгэл гэж нэрлэдэг) шууд шийдэж болно.

Физик ертөнцийг дүрслэхэд дифференциал тэгшитгэлийг ашиглахын нэг жишээ бол агаар дахь биеийн уналтын хурдыг $v$ зөвхөн хүндийн хүч болон агаарын эсэргүүцэлтэй хамааралтайгаар тодорхойлох явдал юм. Биеийн агаарын эсэргүүцэл рүү чиглэсэн хурдатгал нь хүндийн хүчний хурдатгалаас агаарын эсэргүүцлийн нөлөөг хассантай тэнцүү.

${\frac {dv}{dt}}=g-kv$

Үүнд $g$ нь хүндийн хүчний хурдатгал, $k$ нь агаарын эсэргүүцлийн коэффициент юм. $v$-г хугацааны ($t$) функц болгон олохын тулд энэхүү дифференциал тэгшитгэлийг шийдэж анхны шийдийг гаргаж авна.

Төрөл

Дифференциал тэгшитгэлийг хэд хэдэн аргаар ангилж болно.

Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ODE)

Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ordinary differential equation буюу ODE) гэдэг нь зөвхөн нэг бодит эсвэл цогц (complex) үл хамаарах хувьсагч $x$, түүний уламжлалууд болон $x$-ээс хамаарсан зарим функцүүдийг агуулсан тэгшитгэл юм. Үл мэдэгдэх функцийг ихэвчлэн хамааралтай хувьсагчаар ($y$) төлөөлүүлдэг.

Тухайн уламжлалт дифференциал тэгшитгэл (PDE)

Тухайн уламжлалт дифференциал тэгшитгэл (partial differential equation буюу PDE) гэдэг нь үл мэдэгдэх олон хувьсагчтай функц болон тэдгээрийн тухайн уламжлалуудыг агуулсан тэгшитгэл юм. PDE-г хэд хэдэн хувьсагчаас хамаарсан функц бүхий бодлогуудыг томьёолоход ашигладаг.

Шугаман дифференциал тэгшитгэл

Үл мэдэгдэх функц болон түүний уламжлалуудын хувьд шугаман байх тэгшитгэлийг шугаман дифференциал тэгшитгэл гэнэ. Тэдгээрийн ерөнхий хэлбэр нь:

$a_{n}(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\dots +a_{1}(x)y'+a_{0}(x)y=g(x)$

Шугаман бус дифференциал тэгшитгэл

Үл мэдэгдэх функц болон түүний уламжлалуудын хувьд шугаман бус байгаа тэгшитгэлийг шугаман бус дифференциал тэгшитгэл гэнэ. Шугаман бус тэгшитгэлийг аналитик байдлаар шийдэх аргууд маш цөөн байдаг бөгөөд ихэвчлэн тодорхой тэгш хэмтэй (symmetry) тохиолдолд шийдэгддэг.

Тэгшитгэлийн эрэмбэ

Дифференциал тэгшитгэлд орсон хамгийн дээд эрэмбийн уламжлалыг уг тэгшитгэлийн эрэмбэ (order) гэнэ. Зөвхөн нэгдүгээр уламжлал агуулсан тэгшитгэлийг нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэл, хоёрдугаар уламжлал агуулсныг хоёрдугаар эрэмбийн тэгшитгэл гэх мэтээр нэрлэнэ.

Анхны нөхцөл ба хилийн нөхцөл

Дифференциал тэгшитгэлийн шийд нь ихэвчлэн дурын тогтмолуудыг агуулдаг (ерөнхий шийд). Шийдийг цор ганц болгохын тулд нэмэлт нөхцөлүүд шаардлагатай:

Анхны нөхцөл (Initial conditions): Хугацааны тодорхой нэг агшин дахь (ихэвчлэн $t=0$) утгыг өгөх.

Хилийн нөхцөл (Boundary conditions): Тодорхойлогдох мужийн хязгаар буюу хил дээрх утгыг өгөх.

Шийд оршин тогтнох тухай

Дифференциал тэгшитгэл бүр шийдтэй байх албагүй. Шийд оршин тогтнох (existence) болон тэр нь цор ганц (uniqueness) байх эсэхийг баталдаг математикийн теоремууд байдаг. Жишээ нь, Пикарын теорем нь ODE-ийн хувьд тодорхой нөхцөлд шийд оршин тогтнохыг баталдаг.

Энэ математикийн тухай өгүүлэл дутуу дулимаг бичигджээ. Нэмж гүйцээж өгөхийг хүсье.