Сильвестерийн матриц

Математик дахь Сильвестерийн матриц гэж 2 олон гишүүнтийн мэдээллийг өгдөг матриц юм. Жеймс Жозеф Сильвестерийн нэрээр нэрлэгджээ.

Тодорхойлолт

p ба q нь харгалзан m, n зэргийн олон гишүүнт байг:

$p(z)=p_{0}+p_{1}z+p_{2}z^{2}+\cdots +p_{m}z^{m},\;q(z)=q_{0}+q_{1}z+q_{2}z^{2}+\cdots +q_{n}z^{n}.$

Тэгвэл p ба q-тэй холбогдох Сильвестерийн матриц гэдэг нь дараах $(n+m)\times (n+m)$ хэмжээст матрицыг хэлнэ:

• Эхний мөр нь:

${\begin{pmatrix}p_{m}&p_{m-1}&\cdots &p_{1}&p_{0}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}.$

• Хоёр дахь мөрийн эхний элемент нь 0 бөгөөд хойших элементүүд нь эхний мөрийн, урдах багана дахь элементтэй тэнцүү.
• дараагийн (n-2) мөр нь өмнөхтэй ижил аргаар тодорхойлогдоно.
• (n+1) дэх мөр нь:

${\begin{pmatrix}q_{n}&q_{n-1}&\cdots &q_{1}&q_{0}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}.$

• үлдсэн мөр нь дээрхтэй адилаар тодорхойлогдоно.

Жишээлбэл, хэрвээ m=4, n=3 бол Сильвестерийн матриц нь дараах хэлбэртэй болно:

$S_{p,q}={\begin{pmatrix}p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0&0\\0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0\\0&0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}\\q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0&0\\0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0\\0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0\\0&0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}\\\end{pmatrix}}.$

Хэрэглээ

Эдгээр матриц нь коммутатив алгебрт хэрэглэгддэг бөгөөд хоёр олон гишүүнт (тогтмол биш) ерөнхий язгууртай эсэхийг тогтооход ашиглана. Хэрэв авч үзэж буй хоёр олон гишүүнт нь ерөнхий язгууртай байвал холбогдох Сильвестерийн матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байна. Өмнөх өгүүлбэрийн урвуу нь ч үнэн.

Эшлэл

• Вайшштайн, Эрик В., "Sylvester Matrix" (MathWorld).

Энэ алгебрын тухай өгүүлэл дутуу дулимаг бичигджээ. Нэмж гүйцээж өгөхийг хүсье.

Энэ тооны онолын тухай өгүүлэл дутуу дулимаг бичигджээ. Нэмж гүйцээж өгөхийг хүсье.