Стирлингийн томъёо

Чөлөөт нэвтэрхий толь — Википедиагаас
Jump to navigation Jump to search
(ln n!) - ийг (n ln n − n) - д хуваасан харьцаа нь n ихсэх тусам нэг гэсэн утга руу дөхнө.

Математикт "Стирлингийн томъёо" нь n!-н утгыг олоход түгээмэл хэрэглэгддэг томъёо юм. Ялангуяа n нь их утгатай үед(10!, 100! ...) мөн log суурьтай n!-н утгыг тооцоолоход хэрэглэгддэг. Бодолтын үр дүнд тооны машинаар бодсонтой хариу нь яг таарч гарахгүй ч хамгийн дөхөмтэйгээр тооцоолж олдог. Энэхүү томъёог алдартай математикч Жеймс Стирлингийн нэрээр нэрлэжээ.

1.

2.

3.

4. үед

харин үед харьцаа нь . (, тогтмол утгууд)

Томъёоны гаргалгаа[засварлах | edit source]

1. -н утгыг тооцоолохын оронд, түүнээс натурал логарифм авбал:

Тэгшитгэлийн баруун талаас нь хасвал

Интегралын трапец дүрмийн дагуу

Euler–Maclaurin томъёо-н дагуу алдаа нь:

Үүнээс Bk( Бернуллийн дугаар) ба Rm,n-г олохын тулд хязгаар авна.

энд -аар хязгаарыг тэмдэглэсэн

Big-O-г хэрэглэхэд, түүний логарифм хэлбэр дэхь тэгшитгэлүүдйг нэгтгэнэ:

Хоёр талаас нь экспоненциал аваад, m-г эерэг гэж үзүүл, m = 1 болоод томъёо нь

энд ey эь болсноор Стирлингийн томъёо нь:

Laplace-н томъёог хэрэглэн, 2 талаасаа хязгаарлагдсан хандлага нь болсноор Стирлингийн томъёо нь.

Интеграл авахад


2. Гамма функцыг ашиглан -г олъё.

Хувьсагчуудаа ингэж солиход

үүнийг Laplace-н томъёон дагуу:

Стирлингийн томъёо нь,

Laplace-н томъёог хэрэглээд n-н факториалыг олоход алдаа үүсдэг учир Laplace-н томъёо-д өргөтгөлийг тооцоолвол

Стирлингийн томъёо,

болох ба энүүгээр тооцоолбол алдааны утга багасах болно.

Гамма функцинд Стирлингийн томъёо[засварлах | edit source]

Бүх утга нь эерэг байх n-н хувьд,

Гамма функцыг Γгэж тэмдэглэдэг.

Pi функц нь факториал биш ч, төвөгтэй тоонуудыг тодорхойлдог. Хэрвээ Re(z) > 0 бол

Интеграл авбал

Bn нь n-н Бернуллийн дугаар.|arg(z)| < π−ε ба ε эерэг байхад алдааны утга нь байна. үүнийг томъёондоо орлуулахад:

Энэ асимптотик томъёог Re(z)тогтмол утгатай z аргументыг олоход хэрэглэдэг.

Жишээ бодлого[засварлах | edit source]

Бодлого1. 10!=?

=3628800 гэж олж болох ч Стирлингийн томъёогоор бодвол

Бодлого2. log(10!)=?

бол Стирлингийн томъёогоор бодвол
нь ойролцоогоор 15,095 гарч байна.

Түүх[засварлах | edit source]

n-н факториалыг олох доорхи томъёог анх нээсэн хүн Abraham de Moivre[1][2] юм.


Холбоотой хичээлүүд[засварлах | edit source]

  • Факториал
  • Lanczos approximation
  • Spouge's approximation

Ном зүй[засварлах | edit source]

  • Abramowitz, M. & I. Stegun (2002), Handbook of Mathematical Functions, <http://www.math.hkbu.edu.hk/support/aands/toc.htm>
  • Nemes, G. (2010), "New asymptotic expansion for the Gamma function", Archiv der Mathematik 95 (2): 161–169, DOI 10.1007/s00013-010-0146-9
  • Paris, R. B. & D. Kaminsky (2001), Asymptotics and the Mellin–Barnes Integrals, New York: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79001-8
  • Whittaker, E. T. & G. N. Watson (1996), A Course in Modern Analysis (4th ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 0-521-58807-3
  • Dan Romik, Stirling’s Approximation for n!: The Ultimate Short Proof?, The American Mathematical Monthly, Vol. 107, No. 6 (Jun. – Jul., 2000), 556–557.
  • Y.-C. Li, A Note on an Identity of The Gamma Function and Stirling’s Formula, Real Analysis Exchang, Vol. 32(1), 2006/2007, pp. 267–272.

Линкүүд[засварлах | edit source]

  • Le Cam, L. (1986), "The central limit theorem around 1935", Statistical Science 1 (1): 78–96 [p. 81], DOI 10.1214/ss/1177013818.Загвар:Verify credibility
  • Pearson, Karl, "Historical note on the origin of the normal curve of errors", Biometrika 16: 402–404 [p. 403], DOI 10.2307/2331714