(ln n !) - ийг (n ln n − n ) - д хуваасан харьцаа нь n ихсэх тусам нэг гэсэн утга руу дөхнө. Математикт "Стирлингийн томъёо" нь n!-н утгыг олоход түгээмэл хэрэглэгддэг томъёо юм. Ялангуяа n нь их утгатай үед(10!, 100! ...) мөн log суурьтай n!-н утгыг тооцоолоход хэрэглэгддэг. Бодолтын үр дүнд тооны машинаар бодсонтой хариу нь яг таарч гарахгүй ч хамгийн дөхөмтэйгээр тооцоолж олдог. Энэхүү томъёог алдартай математикч Жеймс Стирлингийн нэрээр нэрлэжээ.
1.
ln
(
n
!
)
=
n
ln
(
n
)
−
n
{\displaystyle \ln(n!)=n\ln(n)-n}
2.
n
!
∼
2
π
n
(
n
e
)
n
{\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}
3.
lim
n
→
∞
n
!
2
π
n
(
n
e
)
n
=
1.
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}}=1.}
4.
n
∈
N
+
{\displaystyle n\in \mathbb {N} _{+}}
2
π
n
n
+
1
/
2
e
−
n
≤
n
!
≤
e
n
n
+
1
/
2
e
−
n
,
{\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\ n^{n+1/2}e^{-n}\leq n!\leq e\ n^{n+1/2}e^{-n},}
харин
n
≥
1
{\displaystyle n\geq 1}
n
!
n
n
+
1
/
2
e
−
n
{\displaystyle {\frac {n!}{n^{n+1/2}e^{-n}}}}
2
π
=
2.5066...
{\displaystyle {\sqrt {2\pi }}=2.5066...}
e
=
2.71828...
{\displaystyle e=2.71828...}
1.
n
!
{\displaystyle n!}
ln
(
n
!
)
=
ln
(
1
)
+
ln
(
2
)
+
⋯
+
ln
(
n
)
.
{\displaystyle \ln(n!)=\ln(1)+\ln(2)+\cdots +\ln(n).}
Тэгшитгэлийн баруун талаас нь хасвал
1
2
(
ln
(
1
)
+
ln
(
n
)
)
=
1
2
ln
(
n
)
,
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(\ln(1)+\ln(n))={\tfrac {1}{2}}\ln(n),}
Интегралын трапец дүрмийн дагуу
ln
(
n
!
)
−
1
2
ln
(
n
)
≈
∫
1
n
ln
(
x
)
d
x
=
n
ln
(
n
)
−
n
+
1
,
{\displaystyle \ln(n!)-{\tfrac {1}{2}}\ln(n)\approx \int _{1}^{n}\ln(x)\,{\rm {d}}x=n\ln(n)-n+1,}
Euler–Maclaurin томъёо-н дагуу алдаа нь:
ln
(
n
!
)
−
1
2
ln
(
n
)
=
1
2
ln
(
1
)
+
ln
(
2
)
+
ln
(
3
)
+
⋯
+
ln
(
n
−
1
)
+
1
2
ln
(
n
)
=
n
ln
(
n
)
−
n
+
1
+
∑
k
=
2
m
(
−
1
)
k
B
k
k
(
k
−
1
)
(
1
n
k
−
1
−
1
)
+
R
m
,
n
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\ln(n!)-{\tfrac {1}{2}}\ln(n)&={\tfrac {1}{2}}\ln(1)+\ln(2)+\ln(3)+\cdots +\ln(n-1)+{\tfrac {1}{2}}\ln(n)\\&=n\ln(n)-n+1+\sum _{k=2}^{m}{\frac {(-1)^{k}B_{k}}{k(k-1)}}\left({\frac {1}{n^{k-1}}}-1\right)+R_{m,n},\end{aligned}}}
Үүнээс B k R m ,n
lim
n
→
∞
(
ln
(
n
!
)
−
n
ln
(
n
)
+
n
−
1
2
ln
(
n
)
)
=
1
−
∑
k
=
2
m
(
−
1
)
k
B
k
k
(
k
−
1
)
+
lim
n
→
∞
R
m
,
n
.
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(\ln(n!)-n\ln(n)+n-{\tfrac {1}{2}}\ln(n)\right)=1-\sum _{k=2}^{m}{\frac {(-1)^{k}B_{k}}{k(k-1)}}+\lim _{n\to \infty }R_{m,n}.}
энд
″
y
″
{\displaystyle ''y''}
R
m
,
n
=
lim
n
→
∞
R
m
,
n
+
O
(
1
n
m
)
,
{\displaystyle R_{m,n}=\lim _{n\to \infty }R_{m,n}+O\left({\frac {1}{n^{m}}}\right),}
Big-O-г хэрэглэхэд, түүний логарифм хэлбэр дэхь тэгшитгэлүүдйг нэгтгэнэ:
ln
(
n
!
)
=
n
ln
(
n
e
)
+
1
2
ln
(
n
)
+
y
+
∑
k
=
2
m
(
−
1
)
k
B
k
k
(
k
−
1
)
n
k
−
1
+
O
(
1
n
m
)
.
{\displaystyle \ln(n!)=n\ln \left({\frac {n}{e}}\right)+{\tfrac {1}{2}}\ln(n)+y+\sum _{k=2}^{m}{\frac {(-1)^{k}B_{k}}{k(k-1)n^{k-1}}}+O\left({\frac {1}{n^{m}}}\right).}
Хоёр талаас нь экспоненциал аваад, m -г эерэг гэж үзүүл, m = 1 болоод томъёо нь
n
!
=
e
y
n
(
n
e
)
n
(
1
+
O
(
1
n
)
)
.
{\displaystyle n!=e^{y}{\sqrt {n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right).}
энд e y
e
y
=
2
π
{\displaystyle e^{y}={\sqrt {2\pi }}}
n
!
=
2
π
n
(
n
e
)
n
(
1
+
O
(
1
n
)
)
.
{\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right).}
Laplace-н томъёог хэрэглэн, 2 талаасаа хязгаарлагдсан хандлага нь
2
π
n
{\displaystyle {\sqrt {2\pi n}}}
ln
(
n
!
)
=
∑
j
=
1
n
ln
(
j
)
{\displaystyle \ln(n!)=\sum _{j=1}^{n}\ln(j)}
Интеграл авахад
∑
j
=
1
n
ln
(
j
)
≈
∫
1
n
ln
(
x
)
d
x
=
n
ln
(
n
)
−
n
+
1.
{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\ln(j)\approx \int _{1}^{n}\ln(x)\,{\rm {d}}x=n\ln(n)-n+1.}
2. Гамма функцыг ашиглан
n
!
{\displaystyle n!}
n
!
=
∫
0
∞
x
n
e
−
x
d
x
.
{\displaystyle n!=\int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-x}dx.}
Хувьсагчуудаа
x
=
n
y
{\displaystyle x=ny}
n
!
=
∫
0
∞
e
n
ln
x
−
x
d
x
=
e
n
ln
n
n
∫
0
∞
e
n
(
ln
y
−
y
)
d
y
.
{\displaystyle n!=\int _{0}^{\infty }e^{n\ln x-x}dx=e^{n\ln n}n\int _{0}^{\infty }e^{n(\ln y-y)}dy.}
үүнийг Laplace-н томъёон дагуу:
∫
0
∞
e
n
(
ln
y
−
y
)
d
y
∼
2
π
n
e
−
n
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{n(\ln y-y)}dy\sim {\sqrt {\frac {2\pi }{n}}}e^{-n}}
Стирлингийн томъёо нь,
n
!
∼
e
n
ln
n
n
2
π
n
e
−
n
∼
2
π
n
(
n
e
)
n
.
{\displaystyle n!\sim e^{n\ln n}n{\sqrt {\frac {2\pi }{n}}}e^{-n}\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}
Laplace-н томъёог хэрэглээд n-н факториалыг олоход алдаа үүсдэг учир Laplace-н томъёо-д өргөтгөлийг тооцоолвол
∫
0
∞
e
n
(
ln
y
−
y
)
d
y
∼
2
π
n
e
−
n
(
1
+
1
12
n
)
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{n(\ln y-y)}dy\sim {\sqrt {\frac {2\pi }{n}}}e^{-n}\left(1+{\frac {1}{12n}}\right)}
Стирлингийн томъёо,
n
!
∼
e
n
ln
n
n
2
π
n
e
−
n
(
1
+
1
12
n
)
∼
2
π
n
(
n
e
)
n
(
1
+
1
12
n
)
{\displaystyle n!\sim e^{n\ln n}n{\sqrt {\frac {2\pi }{n}}}e^{-n}\left(1+{\frac {1}{12n}}\right)\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}\right)}
Бүх утга нь эерэг байх n-н хувьд,
n
!
=
Π
(
n
)
=
Γ
(
n
+
1
)
,
{\displaystyle n!=\Pi (n)=\Gamma (n+1),}
Гамма функцыг Γгэж тэмдэглэдэг.
Pi функц нь факториал биш ч, төвөгтэй тоонуудыг тодорхойлдог. Хэрвээ Re(z ) > 0 бол
ln
(
Γ
(
z
)
)
=
(
z
−
1
2
)
ln
(
z
)
−
z
+
1
2
ln
(
2
π
)
+
2
∫
0
∞
arctan
(
t
z
)
exp
(
2
π
t
)
−
1
d
t
.
{\displaystyle \ln(\Gamma (z))=\left(z-{\tfrac {1}{2}}\right)\ln(z)-z+{\tfrac {1}{2}}\ln(2\pi )+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan({\frac {t}{z}})}{\exp(2\pi t)-1}}\,{\rm {d}}t.}
Интеграл авбал
ln
(
Γ
(
z
)
)
∼
(
z
−
1
2
)
ln
(
z
)
−
z
+
1
2
ln
(
2
π
)
+
∑
n
=
1
∞
B
2
n
2
n
(
2
n
−
1
)
z
2
n
−
1
{\displaystyle \ln(\Gamma (z))\sim \left(z-{\tfrac {1}{2}}\right)\ln(z)-z+{\tfrac {1}{2}}\ln(2\pi )+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}}{2n(2n-1)z^{2n-1}}}}
Bn нь n -н Бернуллийн дугаар.|arg(z )| < π−ε ба ε эерэг байхад алдааны утга нь
O
(
z
−
2
m
−
1
)
{\displaystyle O(z^{-2m-1})}
Γ
(
z
)
=
2
π
z
(
z
e
)
z
(
1
+
O
(
1
z
)
)
.
{\displaystyle \Gamma (z)={\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}~{\left({\frac {z}{e}}\right)}^{z}\left(1+O\left({\frac {1}{z}}\right)\right).}
Энэ асимптотик томъёог Re(z )тогтмол утгатай z аргументыг олоход хэрэглэдэг.
Бодлого1. 10!=?
10
!
=
10
∗
9
∗
8
∗
7
∗
6
∗
5
∗
4
∗
3
∗
2
∗
1
{\displaystyle 10!=10*9*8*7*6*5*4*3*2*1}
10
!
∼
2
π
10
(
10
e
)
1
0
=
3598695.61
{\displaystyle 10!\sim {\sqrt {2\pi 10}}\left({\frac {10}{e}}\right)^{1}0=3598695.61}
Бодлого2. log(10!)=?
l
o
g
(
10
!
)
=
15.104
{\displaystyle log(10!)=15.104}
log
(
10
!
)
=
10
ln
(
10
)
−
10
{\displaystyle \log(10!)=10\ln(10)-10}
n-н факториалыг олох доорхи томъёог анх нээсэн хүн Abraham de Moivre [ 1] [ 2]
n
!
∼
[
c
o
n
s
t
a
n
t
]
⋅
n
n
+
1
/
2
e
−
n
.
{\displaystyle n!\sim [{\rm {constant}}]\cdot n^{n+1/2}e^{-n}.}
Факториал
Lanczos approximation
Spouge's approximation Abramowitz, M.; Stegun, I. (2002), Handbook of Mathematical Functions Nemes, G. (2010), "New asymptotic expansion for the Gamma function", Archiv der Mathematik , 95 (2): 161–169, doi :10.1007/s00013-010-0146-9 Paris, R. B.; Kaminsky, D. (2001), Asymptotics and the Mellin–Barnes Integrals , New York: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79001-8 Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1996), A Course in Modern Analysis (4th ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 0-521-58807-3 Dan Romik, Stirling’s Approximation for n!: The Ultimate Short Proof? , The American Mathematical Monthly, Vol. 107, No. 6 (Jun. – Jul., 2000), 556–557.
Y.-C. Li, A Note on an Identity of The Gamma Function and Stirling’s Formula , Real Analysis Exchang, Vol. 32(1), 2006/2007, pp. 267–272.
↑ Le Cam, L. (1986), "The central limit theorem around 1935", Statistical Science , 1 (1): 78–96 [p. 81], doi :10.1214/ss/1177013818 , The result, obtained using a formula originally proved by de Moivre but now called Sterling's formula, occurs in his `Doctrine of Chances' of 1733. Загвар:Verify credibility ↑ Pearson, Karl, "Historical note on the origin of the normal curve of errors", Biometrika , 16 : 402–404 [p. 403], doi :10.2307/2331714 , I consider that the fact that Stirling showed that De Moivre's arithmetical constant was
2
π
{\displaystyle {\sqrt {2\pi }}}
![{\displaystyle n!\sim [{\rm {constant}}]\cdot n^{n+1/2}e^{-n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16127e9e51a4f58e3e18381636d01626a6340226)
