Чевийн теорем

Чөлөөт нэвтэрхий толь — Википедиагаас
Jump to navigation Jump to search
Чевийн теорем 1-р хувилбар: гурван шугам нь ABC гурвалжны дотор O цэгт оглолцоно
Чевийн теорем 2-р хувилбар: гурван шугам нь ABC гурвалжны гадна O цэгт оглолцоно

Чевийн теорем нь элементар геометрийн алдартай теоремуудын нэг юм. Өгөгдсөн ABC гурвалжны хувьд D, E, F цэгүүд нь харгалзан BC, CA, AB талууд дээр орших бөгөөд теорем нь AD, BE, CF шулуунууд нь нэг цэгт огтлолцож байвал дараах нөхцөл биелнэ эсвэл дараах нөхцөл биелж байвал дээрх шулуунууд нэг цэгт огтлолцоно гэсэн байдаг.

Мөн Чевийн теоремийн тригонометр хэлбэр байдаг бөгөөд энэ нь AD, BE, CF нэг цэгт огтлолцож байвал дараах нөхцөл биелнэ эс бөгөөс дараах нөхцөл биелж байвал шулуунууд нэг огтлолцоно.

.

Энэ теоремийг Жиованни Чев 1678 онд өөрийн De lineis rectis нэртэй ажилдаа баталсан байдаг. Гэхдээ теоремийг үүнээс өмнө Сарагосын 11-р зууны үеийн хаан Аль-Мутаман ибн Хюд мөн баталсан юм.

Дээрх теорем дээр үндэслэн Чевийн нэрнээс хэд хэдэн нэршил үүсэн гарсан. Тухайлбайл чевиан (AD, BE, CF шулуунууд нь О цэгийн чевианууд юм), чевиан гурвалжин (DEF гурвалжин нь О цэгийн чевиан гурвалжин), мөн чевиан тор, античевиан гурвалжин, чевийн хувьсагч гэх мэт.

Теоремын баталгаа[засварлах | edit source]

, болон шулуунууд цэгт огтлолцоно гэе. Тиймээс , гурвалжнууд нь ижил өндөртэй. Улмаар

бөгөөд мөн үүнтэй адилаар

болно. Үүнээс

болох ба мөн адилаар

болон

болно. Эдгээр гурван тэгшитгэлийг үржүүлбэл

болно. Эсрэгээр нь , болон цэгүүд дээрх нөхцлийг хангана гэж үзье. болон шулуунууд цэгт огтлолцох ба харин нь -тэй цэгт огтлолцоно гэе. Тэгвэл дараах нөхцлийг мөн хангах болно.

Үүнийг дээрх тэгшитгэлтэй харьцуулбал

болно. Хоёр талд нь 1-ийг нэмээд -ыг ашиглавал

болно. Тиймээс бөгөөд цэг болон цэгүүд нь давхцана. Улмаар , болон = шулуунууд нь цэгт огтлолцоно. Теорем батлагдав.

Мөн үзэх[засварлах | edit source]

Гадаад холбоос[засварлах | edit source]

Ишлэл[засварлах | edit source]

  • Grünbaum, Branko & G. C. Shephard (1995), "Ceva, Menelaus and the Area Principle", Mathematics Magazine 68 (4): 254–268, <http://links.jstor.org/sici?sici=0025-570X(199510)68%3A4%3C254%3ACMATAP%3E2.0.CO%3B2-0>.
  • J. B. Hogendijk, "Al-Mutaman ibn Hűd, 11the century kin of Saragossa and brilliant mathematician," Historia Mathematica 22 (1995) 1-18.
  • Landy, Steven. A Generalization of Ceva's Theorem to Higher Dimensions. The American Mathematical Monthly, Vol. 95, No. 10 (Dec., 1988), pp. 936-939
  • Masal'tsev, L. A. (1994) "Incidence theorems in spaces of constant curvature." Journal of Mathematical Sciences, Vol. 72, No. 4
  • Wernicke, Paul. The Theorems of Ceva and Menelaus and Their Extension. The American Mathematical Monthly, Vol. 34, No. 9 (Nov., 1927), pp. 468-472