Эйлерийн теорем (геометр)

Геометрт Леонард Эйлерийн нэрээр нэрлэгдсэн Эйлерийн теорем (Англи: Euler's theorem) нь дараах байдлаар тодорхойлогдоно: Гурвалжны багтаасан тойргийн төв болон тус гурвалжинд багтсан тойргийн төвүүдийн хоорондын зайг d гэвэл

$d^{2}=R(R-2r)\,$

тэнцэтгэл биелнэ. Энд R болон r нь харгалзан багтаасан болон багтсан тойргуудын радиус.

Теоремоос дараах Эйлерийн тэнцэтгэл биш мөрдөгдөнө:

$R\geq 2r.$

Баталгаа

Эйлерийн теорем, түүний баталгаа (англи хэлээр). GeoGebra програм ашиглаж хийсэн зураг.

ABC гурвалжныг багтаасан тойргийн төвийг O, багтсан тойргийн төвийг I, AI цацрагийн багтаасан тойрогтой огтлолцох цэгийг L гэвэл L нь BC нумын дундаж цэг байна. LO цацрагийн багтаасан тойрогтой огцлолцох нөгөө цэгийг M гэе. Багтсан тойргийн AB талтай шүргэлцэх цэгийг D гэвэл ID = r байна. ADI болон MBL гурвалжнууд төстэй гэдгийг харуулахад хэцүү биш, иймээс ID / BL = AI / ML, өөрөөр хэлбэл ID × ML = AI × BL. Иймд 2Rr = AI × BL болно. BI-г холбовол,

өнцөг BIL = өнцөг A / 2 + өнцөг ABC / 2,

өнцөг IBL = өнцөг ABC / 2 + өнцөг CBL = өнцөг ABC / 2 + өнцөг A / 2,

тул өнцөг BIL = өнцөг IBL, иймд BL = IL, AI × IL = 2Rr болно. OI шулууны багтаасан тойрогтой огтлолцсон цэгүүдийг P, Q гэвэл PI × QI = AI × IL = 2Rr тул (R + d)(R − d) = 2Rr, өөрөөр хэлбэл d² = R(R − 2r) болж теорем батлагдлаа.

Гадны холбоос

• MathWorld дахь Эйлерийн теорем