Гурвалжин

Гурвалжин.

Гурвалжингийн төрлүүдийн Эйлер диаграмм.

Гурвалжин нь геометрийн үндсэн дүрсүүдийн нэг ба гурван оройтой, өөрийгөө огтлоогүй битүү тахир шугам юм. Евклидийн геометрт нэг шулууны дагуу үл орших аливаа гурван цэгээр гурвалжинг тодорхойлдог.

Гурвалжны төрлүүд

Гурвалжнуудыг тэдгээрийн талуудын харьцангуй уртуудаар нь ангилж болдог:

• Зөв гурвалжин гэдэг нь бүх талуудын уртууд нь тэнцүү гурвалжныг хэлнэ. Зөв гурвалжин нь мөн зөв өнцөгт олон талт дүрс юм. Тухайлбал бүх дотоод өнцгүүд нь тэнцүү бөгөөд тодруулбал 60° байдаг. Энэ нь зөв олон талт.
• Адил талт гурвалжин гэдэг нь гурвалжны хоёр тал нь тэнцүү байхыг хэлнэ. Адил талт гурвалжин нь хоёр тэнцүү өнцөгтэй (тодруулбал хоёр тэнцүү талуудын эсрэг өнцгүүд) байдаг. Зөв гурвалжин нь адил талт гурвалжин болох ч, бүх адил талт гурвалжин зөв гурвалжин байж чадахгүй.
• Зөв биш гурвалжин гэдэг нь гурвалжны бүх талуудын уртууд ялгаатай байгаа гурвалжныг хэлнэ. Зөв биш гурвалжны дотоод өнцгүүд нь мөн тэнцүү биш байна.

Зөв талт	Адил талт	Зөв биш

Гурвалжнуудыг мөн тэдгээрийн дотоод өнцгүүдээр нь ангилж болдог. Доор өнцгийн хэмийг ашиглан тодорхойлов.

• Тэгш өнцөгт гурвалжин гэдэг нь нэг дотоод өнцөг нь 90°-тэй (Тэгш өнцөг) тэнцүү гурвалжныг хэлнэ. Тэгш өнцгийн эсрэг талыг гипотенуз гэдэг ба энэ нь тэгш өнцөгт гурвалжны хамгийн урт тал байдаг юм. Нөгөө хоёр талуудыг нь тэгш өнцөгт гурвалжны катетууд гэж нэрлэнэ.
• Мохоо өнцөгт гурвалжин гэдэг нь нэг дотоод өнцөгийн хэмжээ нь 90°-ээс их байдаг гурвалжныг хэлнэ (Мохоо өнцөг).
• Хурц өнцөгт гурвалжин гэдэг бүх дотоод өнцгүүдийн хэмжээнүүд нь 90°-ээс бага байдаг гурвалжныг хэлнэ (Хурц өнцөг). Зөв гурвалжин нь хурц өнцөгт гурвалжин юм. Гэхдээ бүх хурц өнцөгт гурвалжин нь зөв гурвалжин байж чадахгүй.
• Тэгш биш өнцөгт гурвалжин гэдэг нь өнцгүүд нь зөвхөн 90°-ээс их эсвэл бага гурвалжнуудыг хэлнэ. Тэгэхээр тэгш өнцөг гурвалжнаас бусад бүх гурвалжныг үүнд хамааруулж болно.

Тэгш	Мохоо	Хурц
	$\underbrace {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad } _{}$
	Тэгш биш

Үндсэн чанарууд

Гурвалжны үндсэн чанаруудыг МЭӨ 300 жилийн орчимд Евклидийн Элементүүд номын 1-4-р ботиудад харуулсан байдаг. Гурвалжин нь олон талт мөн 2-симплекс юм. Бүх гурвалжин нь хоёр хэмжээст дүрс юм.

Гурвалжны өнцгүүдийн нийлбэр нь 180 хэм байдаг. Гурвалжны гадаад өнцөг (дотоод өнцөгтэй хамар өнцөг) нь нөгөө хоёр дотоод өнцгүүдийн нийлбэртэй үргэлж тэнцүү байдаг. Бусад бүх гүдгэр олон талтын адил гурвалжны бүх гадаад өнцгийн нийлбэр 360 хэм байдаг.

Гурвалжны дурын хоёр талын уртуудын нийлбэр нь нөгөө талынхаа уртаас үргэлж их байдаг (хамгийн багадаа тэнцүү байна). Үүнийг гурвалжны адил биш чанар гэдэг. (Тэнцүү байх тохиолдолд хоёр нь өнцөг нь тэг хэм болох бөгөөд гурвалжин нь шугаман сегмент болон хувирна.)

Хэрэв хоёр гурвалжны харгалзах өнцгүүд нь тэнцүү бол уг хоёр гурвалжинг төсөөтэй гэдэг. Энэ тохиолдолд эдгээр хоёр гурвалжны харгалзах талуудын уртууд нь пропорциональ байна. Жишээлбэл хоёр гурвалжин нь нэг дотоод өнцөгтэй бол тэр өнцгийн эсрэг талууд нь хоорондоо параллель байна.

Төсөөтэй хоёр гурвалжны талаар цөөн хэдэн постулат болон теоремууд байдаг:

• Хэрэв хоёр гурвалжны дор хаяж харгалзах хоёр өнцгүүд нь хоорондоо тэнцүү бол тэдгээр гурвалжнууд нь төсөөтэй байна.
• Хэрэв хоёр гурвалжны хоёр талын уртууд нь харгалзан пропорциональ, мөн тэдгээрийн хоорондын өнцгүүд нь тэнцүү бол тэдгээр гурвалжнууд нь төсөөтэй байна.
• Хэрэв хоёр гурвалжны гурван талын уртууд нь харгалзан пропорциональ байвал тэдгээр гурвалжнууд нь төсөөтэй байна.

Хоёр гурвалжны харгалзах өнцөг бүр, мөн тал бүрийн уртууд нь хоорондоо тэнцүү бол тэдгээр гурвалжнуудыг тэнцүү гэдэг. (Нийт 6 ширхэг). Тэнцүү гурвалжны талаар цөөн хэдэн постулат болон теоремууд байдаг:

• ТӨТ Постулат: Хэрэв хоёр гурвалжны харгалзах талууд нь тэнцүү, мөн тэдгээрийн хоорондын өнцгүүд нь тэнцүү бол хоёр гурвалжин тэнцүү байна.
• ТТТ Постулат: Хэрэв хоёр гурвалжны бүх талууд нь харгалзан тэнцүү бол хоёр гурвалжин тэнцүү байна.
• ӨТӨ Постулат: Хэрэв хоёр гурвалжны хоёр өнцөг, тэдгээрийн хоорондын талууд нь харгалзан тэнцүү бол хоёр гурвалжин тэнцүү байна.
• ӨӨТ Теорем: Хэрэв хоёр гурвалжны хоёр өнцөг, аливаа нэг тал нь харгалзан тэнцүү бол хоёр гурвалжин тэнцүү байна.
• Гипотенуз-Катетын теорем: Хэрэв хоёр тэгш өнцөгт гурвалжины гипотенуз болон аль нэг катет нь харгалзан тэнцүү бол тэдгээр хоёр тэгш өнцөгт гурвалжнууд нь тэнцүү байна.

Тэгш өнцөгт гурвалжин болон төсөөтэйн зарчмыг ашиглан тригонометрийн функцүүд болох синус, косинусыг тодорхойлж болдог. Эдгээр нь тригонометрт судлагддаг, өнцгийн функцүүд юм.

Евклидийн геометрт гурвалжны дотоод өнцгүүдийн нийлбэр 180° байдаг. Үүгээр гурвалжны хоёр өнцөг нь мэдэгдэж буй үед нөгөө өнцгийг нь тодорхойлох боломжтой болдог.

Пифагорын теорем

Гол теорем болох Пифагорын теорем нь аливаа тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенузын уртын квадрат нь нөгөө хоёр талынхаа уртуудын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байдаг гэсэн теорем юм. Хэрэв гипотенузын уртыг c, хоёр катетын уртуудыг a болон b гэвэл теорем нь

$a^{2}+b^{2}=c^{2}\,$

хэлбэртэй болно. Урвуу нь ч мөн үнэн буюу хэрэв гурвалжны талуудын уртууд дээрх тэгшитгэлийг хангаж байвал гурвалжин нь тэгш өнцөгт гурвалжин болно.

Тэгш өнцөгт гурвалжны зарим нэг чанарууд:

• Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгүүдийн нийлбэр 90 хэм байдаг.
• Хэрэв тэгш өнцөгт гурвалжны катетууд нь тэнцүү байвал катетуудын эсрэг талын өнцгүүд мөн тэнцүү байх бөгөөд улмаар нийлбэр нь 90 хэм учир өнцөг бүр нь 45 хэм байна. Пифагорын теорем ёсоор гипотенузын урт нь катетын уртыг хоёроор үржүүлж язгуур авсантай тэнцүү байна.
• Хурц өнцгүүд нь 30 болон 60 хэм байх тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд гипотенуз нь хамгийн богино катетын уртаас хоёр дахин их байдаг.

Бүх гурвалжны хувьд талууд болон өнцгүүдийн харилцан шүтэлцлийг косинусын теорем болон синусын теоремоор илэрхийлнэ.

Гадаад холбоос

 Commons: Triangles – Викимедиа зураг, бичлэг, дууны сан