Бөмбөлөг

3-хэмжээст Бөмбөрцөг

Бөмбөлөг (Англи: Sphere, гре. σφαῖρα) буюу Сфер нь бөмбөрцгийн гадаргуу. Математикт бөмбөлгийг зайн тухай ойлголт өгөгдсөн огторгуйн тодорхой цэгээс ижил зайд орших элементүүдийн олонлог хэмээн тодорхойлдог. Тэрхүү цэгийг бөмбөлгийн төв гэх бөгөөд бөмбөлөг нь төвийнхөө хувьд, мөн төвийг дайрсан дурын шулуун, дурын хавтгайн хувьд тэгш хэмтэй дүрс болно. Бөмбөлгөөр хашигдсан огторгуйн хэсэг нь бөмбөрцөг юм. Ерөнхийдөө бөмбөлөг гэвэл Евклидийн огторгуй E³-д тодорхойлогдсон буюу 3-хэмжээст бөмбөлгийг ойлгоно.

Бөмбөлөгийн талбайг градусаар илэрхийлвэл (нумуудын хэмжээнүүд тогтмол бус гэдгийг тооцон) 41252.96 кв. градус гарна.

Бөмбөлөгийг дараах байдлаар мөн тодорхойлдог:

• Бөмбөлөг нь бүх гурван тэнхлэг нь ижил хэмжээтэй эллипсоид юм.
• Бөмбөлөг нь бөмбөрцгийн гадаргуу юм.

Цилиндрийн эзлэхүүн V₁, түүн дотор багтаасан, хоёр суурийг нь шүргэх сферын эзлэхүүн V₂, цилиндрийн нэг суурьтай давхацсан суурьтай, нөгөө суурийн төвд оройтой конусын эзлэхүүн V₃ бол V₁:V₂:2V₃=3:2:1 байна.

Ерөнхий тодорхойлолт

Метрийн огторгуй (X, d)-ийн хувьд c цэгийг бэхлэн, уг c цэгээс нэгэн ижил r > 0 зайд орших бүх цэгүүдийн олонлог

$U_{r}(c)=U(c;r):=\{x\in X\mid d(x,c)=r\}$

-ийг c төвтэй, r радиустай бөмбөлөг гэнэ. r → 0 үед {c} хэмээх ганц элемент бүхий олонлог үүсэх тул r = 0 үеийг мөхсөн бөмбөлөг гэж авч үзэх нь бий.

Евклидийн огторгуй дахь бөмбөлөг

xyz-тэгш өнцөгт координатын систем бүхий 3-хэмжээст Евклидийн огторгуй байг. Түүн дээрх (x₀, y₀, z₀) координаттай цэгээс r зайд орших (x, y, z) цэгүүд нь

$(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}$

нөхцлийг хангана. Энэ нөхцлийг хангах бүх цэгүүдийн олонлог нь бөмбөлөг болох юм. r = 1 үед нэгж бөмбөлөг гэнэ. Уг бөмбөлгийн гадаргуугийн талбай S = 4πr² болно. Координатын эх дээр төвтэй бөмбөлгүүд нь дараах дифференциал тэгшитгэлийг хангана.

$x\,dx+y\,dy+z\,dz=(x,y,z){\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}=0$

Энд бөмбөлгийн дээр орших дурын (x, y, z) цэгийн хувьд түүний шүргэгч вектор (dx, dy, dz) нь бөмбөлгийн гадаргуутай перпендикуляр байна.

Бөмбөлөг нь хавтгайтай огтлолцоход тойрог үүснэ.

Геометрийн үндсэн томъёнууд

Сферын талбай

$S=\ 4\pi r^{2}=\pi d^{2}$

Сферээр хязгаарлагдсан бөмбөрцөгийн эзлэхүүн

$V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$

Сферын сегментийн талбай

$s=\ 2\pi rH=2\pi r^{2}(1-\cos(\alpha ))$,

үүнд: H — сегментийн өндөр, $\alpha$ — зенитын өнцөг.

Гадаад холбоос

 Commons: Бөмбөлөг – Викимедиа дуу дүрсний сан